基于地月L2点中继星的月球背面目标定位误差分析

桂林卿，丛海波，孙琳琳，束 锋，陆锦辉

（南京理工大学电子工程与光电技术学院，南京210094）

1 引言

深空探测是人类航天活动的一个主要领域，随着探测技术的新发展和月球资源的新发现，月球探测成为深空探测活动的重点和热点［1］。由于在地球上难以直接观测月球背面的状况，人类对月球背面的了解远不及月球正面，月球背面因其独特的环境条件和地质情况，一直是学术界和工程界探测与研究的热点，开展对月球背面的着陆与巡视探测越来越受到航天大国的重视［2］。

对月球背面着陆器和巡视器的导航定位是开展月球背面探测任务亟需解决的关键问题之一。由于月球背面着陆器发出的无线电信号收到月球的遮挡，地球上的接收站难以收到月球背面着陆器的信号［3］，以往依靠地面支持的地基测量定位无法直接使用。从国内外的研究进展来看，传统的月球背面着陆器导航定位方法有三种：光学导航定位［4］、天文导航定位［5］以及惯性导航定位［6］。光学导航定位通过导航相机获得月球表面参考特征点的图像，再利用激光测距仪测得着陆器与参考特征点的距离。光学导航定位的局限性在于其信息处理速度慢，作用距离短且不能提供导航用户绝对位置［4］。天文导航定位基于天体位置已知的前提条件，通过测量天体相对于着陆器参考基准面的方位角和仰角计算导航用户的方位和位置，局限性在于其位置解算复杂费事、定位精度较差［7］。惯性导航定位是结合外界提供的初始姿态、位置和速度信息，通过对陀螺仪进行角速度积分解算导航用户的当前姿态，通过当前姿态和加速度信息获得导航用户的惯性加速度，对其进行一次和二次积分解算出导航用户的速度和位置信息，局限性在于陀螺仪的漂移误差和加速度计的零偏误差会随着时间的增长而放大，在没有外界提供的周期定位校正的情况下，不适合进行长时间导航定位［8］。

针对上述不足，一种新方法是通过在地月L2点的Halo轨道上的中继星来实现对地不可见的月球背面和极地区域的长时间覆盖、观测和通信，从而实现对月球背面着陆器的定位，并将信息数据顺利传送给地面跟踪站［9-10］，研究该方法需要对L2点定位机制的误差进行理论分析。针对目前国内缺少L2点定位误差的完整分析的问题，本文将剖析主要误差来源对四种L2点定位体制的定位精度的影响，并对不同定位体制的误差进行理论推算和详细分析。

2 月球背面定位体制

2.1 单星定位

当中继卫星处于地月L2的Halo轨道上时，月球背面着陆器能够收到卫星发送的信号，对此信号的多普勒频移进行采样间隔为T的N次等间隔采样，可以得到多普勒的测量方程。多普勒频移的测量方程中含有三个未知量，即着陆器的位置坐标（x，y，z）。取三个测得的多普勒观测值可得到3个独立的方程，求解可得着陆器位置坐标［9］。

2.2 双星定位

1）部署两颗L2 Halo轨道上的中继卫星，月面着陆器与每颗卫星分别进行双向伪距测量，从而精确计算出与每颗卫星的距离［10］；

2）月面着陆器根据测量所得2个距离和接收到的两颗卫星的广播星历，结合自身高度数据，能够计算出自己的月面位置信息，并可将自己的位置信息通过L2点的中继卫星回传地球。

2.3 三星定位

2.3.1 三星无源定位

月面着陆器同时接收卫星1、2、3这三颗中继卫星发射的导航信号，解调出时钟信号，从而分别测得卫星1与2之间、以及卫星1与3之间的传播延时差，得到相应距离差r1－r2和r1－r3。这两个参量分别表示以卫星1与卫星2，卫星1与卫星3为焦点的两个旋转双曲面，加上通过着陆器自带的高度计获取的高程信息，就可求出着陆器的位置。

2.3.2 三星有源定位

月面着陆器与三颗卫星分别进行双向伪距测量，从而精确计算出与每颗卫星的距离。

月面着陆器根据测量所得3个距离和接收到的三颗卫星的广播星历能够计算出自己的月面位置信息，并可将自己的位置信息通过L2点的中继卫星回传地球。

3 定位精度分析

3.1 定位误差来源

1）星钟误差

星钟误差是指在L2点Halo轨道上的导航卫星的时钟与地球上监测站的时间不同步，而产生的星间时钟误差（因为即使是原子钟，也存在固定的偏差和随机漂移）［10］。单星定位体制由于不涉及卫星时钟，所以理论上不受星钟误差的影响。对双星和三星有源定位来说，伪距测量是基于时间的测量，虽然双向伪距测量技术能够消除着陆器与卫星之间的时钟误差，但是星钟误差问题仍然得不到解决。对三星无源定位来说，虽然解决了着陆器与卫星间的时钟误差，但仍存在星钟误差。

2）定轨误差

所有卫星的星历的最佳估计值是通过计算拟合，并上行注入到导航卫星，并通过导航电文广播给定位终端［11］。拟合本身就是一个估值过程，含有不可避免的残差。同时，L2点的导航卫星轨道测量通过地球测控获取，与BD系统相比，其测轨要远的多，测量精度也相对较差［12］。另一方面，Halo轨道远比BD系统的轨道复杂，卫星轨道存在较大扰动，而且轨道外推无法通过简单线性运算直接得到［12］，这也是造成误差的进一步原因。

3）月面高程测量误差

月面高程测量误差对定位计算精度的影响与相对位置有关［13］。

在对月球背面着陆器进行定位时，定轨误差和星钟误差对定位的影响较大［9］，接下来分别推算和分析定轨误差和星钟误差对定位误差的影响。

3.2 定轨误差对定位误差的影响

3.2.1 单星定位误差

多普勒频移的测量方程如式（1）［9］：

其中：fi表示第i次测量到的多普勒频移，中继星的速度 vi＝ （vxi，vyi，vzi）T（已知量），f是中继星到月面着陆器的通信信号载频，并且载频已知，c是光速，ni是多普勒测量噪声，ei是从卫星指向着陆器方向的单位矢量。取式（1）中三个多普勒测量值，假设定轨误差为 （Δxi，Δyi，Δzi） （其中 i＝1，2，3），则在 f1、f2、f3三个多普勒测量值时卫星的坐标为 （xi＋ Δxi，yi＋ Δyi，zi＋ Δzi）。因定轨误差而导致的定位误差表示为 （Δx，Δy，Δz）， 所以着陆器的坐标变为（x＋Δx，y＋Δy，z＋Δz）。有定轨误差时中继星速度不变，则径向距离和单位方向矢量分别如式（2）、（3）所示：

将带有定轨误差的卫星坐标和带有定位误差的着陆器的坐标带入（1）式，并与没有误差情况下的（1）式联立可得单星定位误差方程如式（4）：

根据式（4），如果定轨误差已知，将中继星的星历导出代入式（4），便可求得定位误差 （Δx，Δy，Δz）。

3.2.2 双星定位误差

根据双向伪距测量得到着陆器和卫星的径向距离如式（5）［14］：

其中τi（i＝1，2）为着陆器发送信号给卫星、卫星接收后并返回信号给着陆器所需要的传输时延。因为着陆器天线高度h为已知量，着陆器位于月球表面的约束条件可表示为式（6）：

式中月球半径Rm＝1737.4 km。测量所得2个距离和接收到的两颗导航卫星的广播星历并结合式（6）可得双向伪距测量得到的着陆器和卫星1、2 的单向距离如式（7）：

其中 （xi，yi，zi）（i ＝ 1，2） 为月固坐标系下第i颗卫星的坐标。定义卫星1和卫星2的定轨误差为 （Δxi，Δyi，Δzi） （i＝1，2），因定轨误差而导致的定位误差为 （Δx，Δy，Δz）， 则着陆器的坐标变为（x＋Δx，y＋Δy，z＋Δz）。因为仅考虑定轨误差，所以时钟误差对径向距离的影响可以忽略不计，可得式（8）所示定轨误差情况下的径向距离和没有定轨误差时的径向距离的相等关系：

联立式（7）、（8）可得双星定位误差计算模型如式（9）：

如果定轨误差已知，将中继星的星历导出代入式（9），便可求得定位误差 （Δx，Δy，Δz）。

3.2.3 三星无源定位误差

根据三星时差定位的原理，可得TDOA观测方程如式（10）［15］：

其中，g1为着陆器与卫星1的距离和与卫星2之间的距离差，g2为着陆器与卫星1的距离和与卫星3之间的距离差，tij为卫星i和卫星j之间的到达时间差。假设卫星1、2、3的定轨误差表示为 （Δxi，Δyi，Δzi） （i＝1，2，3），因定轨误差而导致的定位误差为 （Δx，Δy，Δz）， 所以着陆器的坐标变为（x＋Δx，y＋Δy，z＋Δz）。将含有定轨误差的中继卫星坐标和含有定位误差的着陆器坐标代入式（10）可得式（11）：

其中，ri′为有定轨误差时卫星i和着陆器的距离；同理， g1′、g2′分别为 g1、g2引入定轨误差的结果。代入上述定义，并联立式（10）、（11）得三星无源定位误差计算模型如式（12）：

如果定轨误差已知，将中继星的星历导出代入式（12），便可求得定位误差 （Δx，Δy，Δz）。3.2.4 三星有源定位误差

着陆器与中继卫星的径向距离可以表示为式（13）：

根据上文假设的定轨误差和定位误差，每个中继卫星和着陆器的之间的径向距离可以表示为式（14）：

联立（13）与（14）可得三星有源定位误差计算模型如式（15）：

如果定轨误差已知，将中继星的星历导出代入式（15），便可求得定位误差 （Δx，Δy，Δz）。

3.3 星间时钟误差对定位误差的影响

3.3.1 双星定位误差

双星定位通过双向伪距测量来获得卫星与着陆器之间的距离，由于卫星使用各自的时钟源，因此双向伪距测量时，卫星与卫星间的时钟同步存在误差。当卫星1和2同时向着陆器发送信号的时候，因为星间时钟同步存在误差，以卫星1发送时刻作为参考，可设卫星2相对卫星1的时延是Δt′。

双向伪距测量首先是着陆器发送信号给卫星，卫星收到信号后将其返回给着陆器。假设卫星1与着陆器存在时钟误差Δt′，卫星1双向伪距测量存在式（16）所示关系［10］：

其中，T和T1分别是着陆器和卫星1测得的单向伪距时差，Lt和Lr分别是测距信号在着陆器的发射机和接受机的时延，St和Sr分别是卫星的发射机和接受机的时延，τ1是在卫星1和着陆器之间的信号单向传播时延。将（16）中的两个方程相加，可得双向伪距传输时延如式（17）：

对于卫星2，因为与卫星1有Δt的时钟误差，且相对着陆器有Δt′的时钟误差，故存在双向伪距测量的关系如式（18）：

同理可得卫星2与着陆器的双向伪距传输时延为式（19）：

由式（17）与（19）可见，星间时钟误差 Δt被消去了，所以星间时钟误差对基于双向伪距的双星定位机制没有影响。

3.3.2 三星无源定位误差

由于三颗卫星的时钟不能够严格同步，以卫星1的时钟作为参考，卫星3与卫星1的时钟差是Δt3。卫星1与卫星2到着陆器的到达时间差变为t12－Δt2，卫星1与卫星3到着陆器的到达时间差变为t13－Δt3，其中tij为理想情况下（即不考虑星间时钟误差时）卫星i和卫星j之间的到达时间差。由式（10）可得距离和高程公式如式（20）：

其中，

联立式（20）与式（10）可得三星无源定位误差计算模型如式（21）：

如果时钟误差已知，将中继星的星历导出代入式（21），便可求得定位误差 （Δx，Δy，Δz）。

3.3.3 三星有源定位误差

三星有源定位方式沿用了前述的双星定位中的双向伪距测量来分别求得三个卫星与着陆器的传输时延。同理，卫星1、2、3之间的星钟误差最终也被消除。所以星间时钟误差对基于双向伪距的三星有源定位没有影响。

4 仿真分析

为定量评估四种定位模式下的定轨误差和星间时钟误差分别对着陆器定位精度造成的影响。首先在STK中对着陆器和地月L2轨道中继星进行建模，将中继星的星历导出为月固坐标系下的三维位置和速度。然后结合定轨误差和星钟误差来对定位误差进行解算。

对于单星定位，任取卫星初始坐标为（0，66738，11500）；于双星定位，任取卫星坐标为（0，66738，11500），（11500，66738，0）。 为了避免卫星分布的几何奇异问题，对于三星有源定位和三星无源定位，卫星坐标取为（0，66738，11500），（11500，66738，0），（0，66738， －11500）。 着陆器在月固坐标系下的真实坐标为（0，1229，1229）。当定轨误差在0～100 m变化时对各种体制的定位误差进行解算，计算结果如图1所示。

图1 定轨误差对定位误差的影响Fig.1 The influence of orbit error on positioning error

分析图1可得：

1）在本文的若干假设条件下，定位误差与定轨误差近似为线性关系，且随着定轨误差的增加而增加；

2）在这几种定位体制中，三星有源和三星无源的定位精度最好，并且它们的性能相似，而单星定位的精度最差。

为了对定位精度有更具体的认识，我们列出了当定轨误差固定在50 m和100 m时，各种定位体制对应的定位误差，如表1所示。

表1 定轨误差对定位误差的影响Table 1 The influence of orbit error on positioning error

为了避免卫星分布的几何奇异问题，对三星无源定位，卫星坐标为（0，66738，11500）、（11500，66738，0）、（0，66738， －11500），着陆器在月固坐标系下的坐标不变。当星钟误差在0～4 μs变化时对定位误差进行解算，计算结果如图2所示。

由图2可知，定位误差与时钟误差近似为线性关系，且随着时钟误差的增大而增大。我们列出了当时钟误差固定在 0.01 μs、0.1 μs 和 1 μs时，各种定位体制对应的定位误差，如表2所示。

图2 星间时钟误差对三星无源定位误差的影响Fig.2 The influence of inter satellite clock error on tri－satellite passive positioning error

表2 时钟误差对定位误差的影响Table 2 The influence of clock error on positioning error

5 结论

在单星、双星、三星有源和三星无源这四种定位体制中，定位误差都随着定轨误差的增加而增加，且三星有源定位精度最优。由于双向伪距测量技术能够消除星间时钟误差，星间时钟误差对双星定位和三星有源定位的精度不会造成影响。而三星无源定位根据月面着陆器与三颗L2点中继卫星之间的传输时延差来定位，所以其定位精度会受到星间时钟误差的影响。