华师版“平方差公式”教学案例

王青松

【内容摘要】从数形两方面探究、推导“平方差公式”，观察并总结出公式的形式特征。

【关键词】多项式乘法法则 平方差公式

一、 知识回顾

多项式乘法法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

其意义是：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

说明：这里相乘的两个多项式不管是几项式，其法则不变.

二、问题探究

计算：

（1）（x+2y）（x-2y）；

（2）（x-6y）（x+6y）；

（3）（3x+5y）（3x-5y）；

（4）（a+b）（a-b）.

观察与思考：这几道问题中相乘的两个多项式之间有何关系特征？其相乘的结果形式有何特征？为什么？你能概括出什么结论？

1.可看作是“两个数的和乘以这两个数的差”，其结果是等于“这两数的平方差”.

即：两数的和乘以这两数的差=这两数的平方差.

2.左边的两个二项式中有一项相同，另一项是互为相反数；右边是相同项的平方减去互为相反数的项的平方.

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2；

观察其计算的过程，展开式的中间两项恰好是互为相反数，合并为零，所以最后的结果只剩下两项。

概括：（阅读课本第31页）

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

其意义是：

（1）两个数的和乘以这两个数的差，这两数的平方差；

（2）相乘的两个多项式中，有一项相同，另一项是互为相反数，其相乘的结果是相同项的平方减去互为相反数的项的平方.

说明：

1.公式中的a、b可以是数或单项式或单项式；

2.注意公式的第二层面的理解。

用面积法来解释公式的几何意义：

如图，把边长为a的正方形挖去一个边长为 的正方形，剩下的图形面积有几种不同的求法？它们表示的代数恒等式是什么？

在图1中，S=a2-b2；在图2中，S=（a+b）（a-b）。

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；或说：（a+b）（a-b）=a2-b2。

試一试：

1. 计算：

（1）（a+3）（a-3）；

（2）（2a+3b）（2a-3b）；

（3）（1+2c）（1-2c）；

（4）（-2x-y）（2x-y）.

第（4）题的进一步探究：

变式计算：

（1）（2x+y）（-y+2x）；

（2）（2x+y）（y-2x）；

（3）（-2x+y）（2x+y）；

（4）（-2x-y）（-2x+y）；

（5）（2x+y）（-2x-y）.

由这组题目的计算，你对平方差公式的特征还有什么新的认识？

相乘的两个多项式中，若有一项相同，另一项是互为相反数，则它们的积等于 项的平方减去 项的平方.

练一练：

计算：

（1）（2x+12） （2x-12）；

（2）（-x+2）（-x-2）；

（3）（-2x+3y）（2x+3y）；

（4）（y-x）（-x-y）.

注意：相同项的平方减去相反项的平方！

更上一层楼：

1.计算：（x+2）（x-3）-（x-4）（x+4）.

2.先化简，再求值：（x-3y）（x+y）-（x+3y）（x-3y），其中，x=-2，y=14.

三、课后练习

1.计算：

（1）（a+3）（a-5）= ；

（2）（a+3）（a-3）= ；

（3）（a-5）（a+5）= ；

（4）（a-3）（a-5）= .

2.计算：

（1）（x+3y）（x-3y）= ；

（2）（3x+2y）（3x-2y）= ；

（3）（2x-5y）（2x+5y）= ；

（4）（-x+3）（-x-3）= .

3.计算：

（1）（a-4）（a+4）+（a-1）（a+1）；

（2）（5+x）（5-x）+（x-1）（x+3）；

（3）（3x-4y）（3x+4y）-（x+4y）（x-4y）；

（4）（a+2b）（2b-a）-（a+3b）（a-b）.

4.解方程：4x2-（x-2）（x+2）=（x-4）（3x+4）.

5.先化简，再求值：（x+3）（x-3）-（3x+2）（2-3x），其中x=2.

6.计算：（2x-y）（2x+y）（4x2+y2）.

7.（1）探究：计算下列各式：

（x-1）（x+1）= .

（x-1）（x2+x+1）= .

（x-1）（x3+x2+x+1）= .

（2）归纳：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+...+x+1）= .

【参考文献】

[1]华师大《八年级上册》（2014版）.

（作者单位：福建省泉州市培元中学）