基于Mogi-Coulomb强度准则的井壁稳定性力学分析新方法*

李高仁，史亚红，夏宏泉，韩龙飞

(1.长庆油田分公司勘探开发研究院，陕西 西安 710021；2.西南石油大学 油气藏地质及开发工程国家重点实验室，四川 成都 610500)

0 引言

井壁失稳不但影响安全钻井施工，而且给固井及后续开发带来很多难题。研究表明定向井、大位移井和水平井的井壁失稳比直井更加突出[1-3]。前人对直井井壁稳定性的研究非常成熟，而对井斜角与方位角变化较大的井(如具有复杂轨迹的斜井和水平井)的井壁稳定性研究还未达成统一认识。

选择适当的岩石强度破坏准则是准确计算坍塌压力和破裂压力与评价井壁稳定性的关键。在井壁稳定性分析中，Mohr-Coulomb破坏准则(M-C准则)是研究井壁剪切破坏最常用的准则[4-5]，该准则假设中间主应力σ2和最小主应力σ3相等，忽略了σ2不等于σ3对岩石强度的影响，这使得其预测的井壁坍塌压力太大，不利于提高钻速和储层保护。国外对此问题的研究比较多[6-7]，例如，Vernik等人[8]发现使用M-C准则评价岩石失稳破坏存在较大误差，认为岩石破坏准则的选择对井壁稳定性研究非常重要；Al-Ajmi和Zimmerman[9-11]对比了Mogi准则与Coulomb准则之间的力学关系，并考虑中间主应力σ2对岩石强度的影响，提出采用Mogi准则的线性方程评价岩石破坏，并将其命名为Mogi-Coulomb准则(Mg-C准则)，该准则用于评价井壁失稳有较好的适用性。

本文在斜井井壁围岩应力分析的基础上，结合M-C准则、Mg-C准则和Ranki拉伸破坏准则建立了适用于复杂井斜的地层坍塌压力和破裂压力计算模型，并模拟分析了不同地应力状态和破坏准则对复杂轨迹井的安全钻井液密度窗口及井壁稳定性的影响变化规律；最后，将新旧模型应用于ORDOS盆地某水平井H1井坍塌风险预测中，并与实际情况作对比，从而验证了新模型的准确性。

1 井壁围岩应力分布状态

地应力坐标系和井眼坐标系间的转换关系如图1所示，其中，(1,2,3)为原地应力坐标系，(x,y,z)为井眼直角坐标系，(r,θ,z)为井眼圆柱坐标系。坐标系(1,2,3)的3个坐标轴分别与地应力σH，σh，σv相对应。坐标系(x,y,z)中，z轴与井眼轴线平行，x轴和y轴位于垂直于z轴的平面内。定义井斜角为α，β角为井斜方位与最大水平主应力σH方向之间的夹角，井周角θ为井周上某点径向与最大水平主应力方向之间的夹角。根据图1将坐标系(1,2,3)旋转到坐标系(x,y,z)，可得斜井井壁应力的分布状态[12]。

图1 地应力坐标系和井眼坐标系间的转换关系Fig.1 The relationship between geostress coordinate system and wellbore coordinate system

斜井井壁上某点的正应力和剪应力可用式(1)表示：

(1)

(2)

式中：Pi为钻井液液柱压力，MPa；σr为径向应力，MPa；σθ为周向应力，MPa；σx为坐标变化后沿x轴的正应力，MPa；σy为坐标变化后沿y轴的正应力，MPa；σz为坐标变化后沿z轴的正应力，MPa；τxy为坐标变化后沿x平面和y平面的剪应力，MPa；τyz为坐标变化后沿y平面和z平面的剪应力，MPa；τxz为坐标变化后沿x平面和z平面的剪应力，MPa；σH为最大水平主应力，MPa；σh为最小水平主应力，MPa；σv为上覆岩层压力，MPa；μ为岩石泊松比。

斜井井壁上某点的3个主应力σi,σj,σk可由式(3)表示：

(3)

对其进行大小排序，这3个主应力从大到小分别对应σ1,σ2,σ3。

2 Mogi-Coulomb剪切破坏准则

Mg-C准则考虑了中间主应力σ2对岩石强度的影响，反映岩石的剪切破坏更加客观准确。在考虑有效应力的情况下，Mg-C准则可以表示为[9,13]：

(I12-3I2)1/2=a+b(I1-σ2-2αPp)

(4)

(5)

式中：α为孔弹性系数，a=2Ccosφ；b=sinφ；I1为第一应力不变量，MPa；I2为第二应力不变量，MPa；Pp为孔隙压力，MPa；其他参数意义同上。

3 岩石坍塌压力和破裂压力模型的建立及求解

剪切破坏和拉伸破坏是井壁岩石失稳破坏的主要形式。通常，井内钻井液柱压力太低或太高会使得井壁围岩的应力超过岩石强度，从而造成井壁的剪切破坏和拉伸破坏。钻井液柱压力过低时，井壁最小主应力为σ3=σi=σr=Pi，对应于最常见的井壁剪切崩落破坏模式和σj>σk>σi应力状态，则计算的临界压力即为坍塌压力；而随着钻井液密度增大、钻井液柱压力的增加，井壁径向应力σr也逐渐增大，增大到一定程度、超过其抗拉强度时，井壁岩石将发生拉伸破坏，此时计算的临界压力为破裂压力。

3.1 岩石坍塌压力模型建立

从以上分析可知，计算坍塌压力时，最常用的主应力排序是σj≥σk≥σi。结合式(3)可得井壁3个主应力的对应关系 ：σ1=σj,σ2=σk,σ3=σi=σr=Pi。将这3个主应力代入M-C剪切破坏准则[13-14]和Mg-C准则式(4)并整理变换，可得基于M-C、Mg-C这2种岩石剪切破坏准则计算坍塌压力的方程式为:

(6)

式中：Pbr为利用M-C准则计算的坍塌压力，MPa；Pbg为利用Mg-C准则计算的坍塌压力，MPa。

函数fM-C和fMg-C的物理意义是：当fM-C<0或fMg-C<0时，井壁岩石将发生剪切破坏；fM-C=0或fMg-C=0时，井壁岩石处于极限平衡状态；当fM-C>0或fMg-C>0时，井壁岩石处于稳定状态。

3.2 岩石破裂压力模型建立

由式(3)可知，井壁3个主应力σi,σj和σk中，只有σk可能为负值。因此，对于拉张破裂，井壁围岩最小主应力为σmin=σ3=σk，将其代入拉伸破裂准则σmin-αPp≤-|σt|，可得井壁拉张破坏的应力-强度函数关系式：

fT(Pft)=σ3-αPp+|σt|=0

(7)

式中：σt为岩石抗拉强度，MPa；pft为破裂压力，MPa。

函数fT的物理意义是：当fT<0时，井壁岩石将发生拉张破坏；fT=0时，井壁岩石处于极限平衡状态；当fT>0时，井壁岩石不会发生拉张破坏。

井壁最大、最小主应力σ1和σ3都是钻井液液柱压力Pi的函数。将σ1和σ3代入式(6)和式(7)可以得到M-C准则和Mg-C准则计算的坍塌压力的模型及拉伸破裂准则计算破裂压力的模型，它们都是含Pi的非线性方程，通过迭代的方法可以求出所需的钻井液液注压力值。

根据上述算法，使用FORTRAN语言编程，挂接到FORWARD.NET测井解释平台可以实现整个井段任意井眼坍塌压力(Pbr和Pbg)和破裂压力(Pft)的求解。

3.3 安全钻井液密度窗口的确定

为了避免发生缩径、坍塌、溢流和井喷等工况，使用合理的钻井液密度非常重要[15]。常用M-C准则计算坍塌压力，并与孔隙压力作比较，选择较大的当量密度值作为下限值，而根据拉伸破坏准则计算的破裂压力当量密度作为上限值。实际表明此方法给出的钻井液密度值偏高且窗口窄，同维持井壁稳定所需的钻井液密度值有一定的差异，不利于钻井提速和储层保护。本文引入Mg-C准则计算的钻井液密度，给出一种计算任意井眼安全钻井液密度窗口MW(上下限)的新方法，计算公式如式(8)和式(9)所示。

(8)

(9)

式中：TVD为垂深，m；Ppm为孔隙压力当量密度，g/cm3；Pbgm为Mg-C准则计算的坍塌压力当量密度，g/cm3；Pftm为破裂压力当量密度，g/cm3。

4 井壁坍塌失稳规律分析

由上述模型的一系列推导过程可以看出，任意井眼的坍塌压力和破裂压力的计算与井斜角、井斜方位角及地应力状态(大小和方向)密切相关。地应力表现为3种状态，即σV>σH>σh(正断层NF)、σH>σV>σh(走滑断层SS)和σH>σh>σV(逆断层RF)。

ORDOS盆地某井的低孔低渗砂岩地层参数为：垂深TVD=2 500 m，孔隙压力Pp=30 MPa，泊松比ν=0.25，Biot系数α=0.5，抗拉强度St=8.0 MPa，内摩擦角φ=25°，内聚力C=6.28 MPa，其最大水平主应力方向为正北向，地应力数据如表1所示。

表1 不同断层类型的地应力输入数据Table 1 Input data for different in-situ stress patterns

将上述已知岩石力学参数和表1数据代入坍塌压力和破裂压力模型进行计算，采用Origin软件绘图可得，不同准则计算的坍塌压力和破裂压力当量密度随井斜角和井斜方位角的变化规律，如图2-4所示。可以看出：

1)在相同地应力状态下，由M-C和Mg-C这2种破坏准则计算的同一位置的坍塌压力当量密度不同，但变化趋势基本相同。通过对比发现，Mg-C准则计算的坍塌压力当量密度(0.96～1.65 g/cm3)略微低于M-C准则(1.1～1.8 g/cm3)。究其原因主要是由于M-C准则忽略了σ2对岩石强度的影响，使得预测的坍塌压力当量密度过高，而Mg-C准则考虑了中间主应力σ2的作用使得预测值较前者低。

图2 不同地应力状态下M-C准则计算的坍塌压力当量密度分布Fig.2 Collapse pressure equivalent density cloud map calculated by M-C and Mg-C criteria under different in-situ stress conditions

2)对于NF应力状态，从图3(a)和图4(a)可知，沿最小水平主应力方向钻进的小斜度定向井坍塌压力当量密度较低(0.96～1.25 g/cm3)，其次是直井(1.16 g/cm3)，沿最大水平主应力方向钻进的水平井稳定性差(1.65 g/cm3)，而破裂压力当量密度变化趋势正好相反(见图4(a))。因此正断层地应力状态时，沿最小水平主应力方向钻进小斜度定向井安全钻井液密度窗口较宽(0.96～3.165 g/cm3)，井壁稳定；直井井壁稳定性次之(1.16～2.186 g/cm3)；若要钻取大斜度井或者水平井，沿最小水平主应力方向钻进时，安全钻井液密度窗口较宽(1.45～2.566 g/cm3)，井壁稳定，而沿最大水平主应力方向钻进时，安全钻井液密度窗口较窄(1.65～2.965 g/cm3)，井壁稳定性差。

3)对于SS断层应力状态，结合图3(b)和图4(b)可知，沿最大与最小水平主应力之间的某一临界角钻斜井或水平井时，安全钻井液密度窗口较宽(1.325～3.082 g/cm3)，井壁稳定；而沿最大水平主应力和最小水平主应力方向钻进斜井或水平井时，安全钻井液密度窗口较窄(1.625～2.375 g/cm3)，井壁稳定性差。

图3 不同地应力状态下Mg-C准则计算的坍塌压力当量密度分布Fig.3 Collapse pressure equivalent density cloud map calculated Mg-C criteria under different in-situ stress conditions

4)对于RF断层应力状态，结合图3(c)和图4(c)可知，沿最大水平主应力方向钻进小斜度定向井安全密度窗口较宽(0.736～2.370 g/cm3)，井壁稳定；其次是直井(0.936～1.970 g/cm3)，井壁稳定性次之；若钻大斜度井或水平井，沿最大水平井主应力方向钻进，安全钻井液密度窗口较宽(0.936～1.37 g/cm3)，井壁稳定，而沿最小水平主应力方向钻进，安全钻井液密度窗口窄，井壁地层为压力敏感性地层状态。

图4 不同地应力状态下拉张破坏准则计算的破裂压力当量密度分布Fig.4 Fracture pressure equivalent density cloud map calculated by tensile failure criterion under different in-situ stress conditions

5 实例分析

根据上述公式编制程序，并挂接到Forward测井解释平台运行，可以实现安全钻井液密度窗口的可视化测井解释处理。对ORDOS盆地某水平井H1井3 000～3 750 m井段坍塌压力和破裂压力当量密度及安全钻井液密度窗口进行预测(已知井段地应力状态为走滑地应力状态且最大地应力方位为NE114°)，可得到H1井3 000～3 750 m井段不同方法预测的钻井液密度与实际钻井液密度对比结果，如表2所示。

表2 H1井预测的钻井液密度与实际钻井液密度对比Table 2 The comparison the predicted drilling fluid density with the actual drilling fluid density for H1 well

从表2可知，在3 000～3 200 m沿最大地应力方位(方位角为NE114.7°)使用密度为1.36 g·cm-3的钻井液密度钻进时，井眼扩径显著，井壁发生明显的坍塌掉块；在3 200～3 430 m，当钻进方位减小时，坍塌掉块现象有所减弱；在3 430～3 750 m沿与最大地应力方位呈NE44.7°使用密度为1.43 g·cm-3的钻井液密度钻进(方位角为NE70°)时，井眼基本没有扩径，井壁稳定性好。这正好验证了走滑断层地应力状态下，沿与最大地应力方向呈某一临界角钻进水平井最安全。

观察2种方法的钻井液密度窗口的下限可得，新方法的坍塌压力当量密度小于传统方法的值，即：Pbgm

从表2可知，在井壁稳定段3 430～3 750 m，新方法预测的钻井液密度小于传统方法的预测值，且与实际维持井壁稳定需要的钻井液密度更加接近。因为当钻井液密度过高时，其在压差的作用下会侵入地层，从而增加井壁坍塌风险。所以，新方法可以提高钻速，降低钻井成本和技术难度。

6 结论

1)基于不同坐标系的井壁应力分析，采用M-C和Mg-C剪切破坏准则与拉伸破裂准则建立的任意井眼的坍塌压力和破裂压力及相应的安全钻井液密度窗口计算模型，克服了传统模型预测钻井液密度保守的缺点，可以合理地给出维持井壁稳定所需的理想钻井液密度。

2)采用M-C和Mg-C的2种剪切破坏准则计算的井眼坍塌风险分布趋势基本相同。当在同一位置(井斜角和方位角相同)，Mg-C准则计算的坍塌压力当量密度稍微低于M-C准则，这与实际钻井时允许有轻微的井壁失稳情况相一致。

3)3种典型地应力状态(NF,SS,RF)下任意井眼井壁稳定性分析显示，正断层地应力状态时，沿最小水平主应力方向钻进的小斜度定向井井壁稳定性最好；走滑断层地应力状态时，沿最大水平主应力与最小水平主应力之间的某一临界角钻进斜井或水平井，其井壁最稳定；逆断层地应力状态时，沿最大水平主应力方向钻进小斜度定向井，其井壁最稳定。