换元法在定积分证明题中的应用

山东济南职业学院 王 岳

换元积分法是高等数学中常用的求积分的重要方法之一，在不定积分和定积分的计算中都有重要的应用。同样，在定积分的很多证明题中，也要用到换元的方法才方便解决问题，证明结论。

一、定积分的换元法

定积分的换元法与不定积分不同的是，定积分在换元以后，一定要进行换限，上下限的变化不能忽略；另外，定积分换元后不需要还原，只要求出原函数后利用牛顿莱布尼茨公式把积分值计算出来即可。

二、第一换元法在定积分证明中的应用

定积分的证明题中，很多题目需要证明一个定积分等于另外一个定积分，而且很多被积函数是抽象的函数，没有给出具体表达式，无法通过计算进行证明。此时，要想证明两个积分值相等，就得通过换元的方法将其中一个定积分往另一个定积分的形式上进行变形转换。在这个过程中，如果进行积分变量的换元是关键，怎样换元才能实现向目标定积分的转换过程，需要我们仔细观察两个积分的异同，其中包括被积函数和积分上下限之间的关系，从而将积分变量换成合适的函数，同时对原有的上下限进行转换，再根据已知条件，逐渐变形实现向目标定积分的转换。

很多学生在计算定积分时，能熟练应用换元法求解，但在证明题中，却有些无从下手。把握不好应该如何换元，换哪个量，怎样选择换成什么函数。下面，我们通过几个例题来说明一下换元法在定积分证明题中如何来应用。

分析：本题的基本思路同上题，我们可以根据上下限特点的观察，选择与上题相同的换元方法，然后根据换元后的结果，来判断函数的奇偶性是否和a有关。

分析：对比等式的左右两边的定积分，被积函数的自变量发生了变化，表面上看积分上下限并没有变，但要想从方程左边入手，证出右边的形式，只有通过换限来实现，上下限发生变化后，还可以通过交换上下限的位置来实现把上下限换回原样的效果。

分析：此类证明题，都要通过对比等式的左右两边的积分形式，选择相应的换元方法，实现由左端向右端的转化。此题等式两端的定积分中，三角函数名和上下限都没有变，但是被积函数的形式有所变化，积分前面的系数也有所变化。若想证明方程左边的定积分与右边的相等，可以考虑应用第一换元法，根据三角函数名不变这一特点，我们选择将积分变量 换成。上下限虽然会变化，但是后面通过交换积分上下限的位置，同样能得到右边的积分形式。

以上四个例题，都是通过换元的方法进行的证明，他们有很多共性之处：先通过需证明的等式两端定积分的比较，选定换元的形式，然后根据已知条件和目标积分进行恒等变形，在证明过程中，要特别注意，换元的同时要换限。虽然有些等式两端的定积分看上去上下限是相同的，但实际上是换元以后又交换了上下限的位置变化得到的，并不是在还原中上下限没有发生变化，是几经转换又变了回去。像这样上下限能变回去的定积分对换元的形式也是有要求的，这也给我们提供了一定的换元思路。因此，证明定积分的证明题要提高观察能力，选择正确的换元形式才能实现准确快速的证明。