等价无穷小在考研数学中的应用
2018-10-30王晓梅杨晓春
王晓梅 杨晓春
摘 要：无穷小量是极限中的一个重要概念。在求极限过程中，等价无穷小是常用的方法之一，正确使用等价无穷小可以大大简化极限运算。本文主要研究的是等价无穷小在考研数学求极限中的应用。
关键词：等价无穷小；考研数学；极限
极限问题是整个微积分学的基础，是高等数学基础概念与核心内容之一。在考研数学中，极限问题的分值大约是4～10分，而高数在考研数学的分值大约是84分，因此极限问题是不容忽视的一部分。通常，大家是利用一阶等价无穷小解极限问题，然而，等价无穷小并不只有一阶无穷小，如何获取更多的等价无穷小并应用到实例中是大家更想知道的。本文在第二部分给出了由泰勒公式得到的常见的高阶无穷小及实例，并对此问题作了进一步说明，希望对大家有所帮助。
一、 常见的等价无穷小
当x→0时，有
a）1-cosx～x22b）ln（1+x）～x c）sinx～x， e）ex-1～x，f）n1+x-1=xn。
灵活地使用这些等价无穷小，我们可以快速地求解极限问题。
例1 （2016）已知函数f（x）满足limx→01+f（x）sin2x-1e3x-1=2，则limx→0f（x）=
解：因为
limx→01+f（x）sin2x-1e3x-1=等价无穷小e，flimx→012f（x）sin2x3x=等价无穷小climx→0f（x）x3x=limx→0f（x）3=2
所以limx→0f（x）=6。
利用以上等价无穷小，可以处理一些相对简单的极限问题，就limx→0sinx-tanxsin2x而言，直接做就会出错。一些书说加减不能用等价无穷小，只有乘除可以使用等价无穷小，这句话是正确的。若可以找到分子部分整体的等价无穷小，则这个问题就会转变为乘除问题，就可以直接计算。下面本文将在第二部分给出高阶等价无穷小，可以运用它使一些加减式的问题转化为乘除式的。
二、 泰勒公式及高阶等价无穷小
（一） 泰勒公式
在各种试题中常用到以下泰勒公式。
ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn）；
sinx=x-x33！+x55！+…+（-1）m-1x2m-1（2m-1）！+ο（x2m）；
（二） 高阶等价无穷小
通过移项可以把泰勒公式转化为任意阶的等价无穷小。如下：
当x→0时，有
a）1-cosx-x22～x424 b）ln（1+x）-x～-x22 c）sinx-x～-x36 d）ex-1-x～x22
下面我们将运用这些高阶等价无穷小解历年真题。
例2（2015）设函数f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=c=kx3。若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
解：（法一）因为ln（1+x）=x-x22+x33+ο（x3），sinx=x-x33！+ο（x3），则由
1=limx→0f（x）g（x）=limx→0x+aln（1+x）+bxsinxkx3
=taylorb，climx→0（1+a）x+（b-a2）x2+a3x3+ο（x3）kx3
得1+a=0
b-a2=0
a3k=1，所以有a=-1
b=-12
k=-13。
（法二）由已知可得：
1=limx→0f（x）g（x）=limx→0x+aln（1+x）+bxsinxkx3=洛必达limx→01+a1+x+bsinx+bxcosx3kx2
=limx→0x+b（1+x）sinx+bx（1+x）cosx3kx2（1+x）
=limx→0x+b（1+x）sinx+bx（1+x）cosx3kx2
=洛必达limx→01+bsinx+b（1+x）cosx+b（1+x）cosx+bxcosx-bx（1+x）sinx6kx
由limx→03kx2=0，limx→06kx=0可得
limx→0（1+a1+x+bsinx+bxcosx）=limx→0（1+a）=0，
limx→0[1+bsinx+2b（1+x）cosx+bxcosx-bx（1+x）sinx]=limx→0（1+2bcosx）=0
所以a=-1，b=-12；
代入a，b，得k=-13。
通過上面的例题及解法我们可以看出，高阶等价无穷小运算量较小，且计算方便；而其他的方法较为复杂，计算量较大。
三、 总结
等价无穷小在求解极限问题时有着广泛的应用，但要选择恰当的方法进行求解。本文着重介绍了由泰勒公式获取的高阶等价无穷小并运用它解决了一些相对复杂的极限问题。那么，如何获取并使用高阶等价无穷小是值得我们去研究，思索的问题。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析-第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]同济大学.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.
[3]陈大桥.等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广[J].成都师范学院学报，2014.
作者简介：
王晓梅，杨晓春，辽宁省大连市，大连海事大学理学院。
