解构与建构：优化数学结构教学

秦绪博

摘 要：在数学结构化教学中，解构与建构是两大支柱。在实践中，解构与建构既是相互独立的，又是相互融合的。解构是为了让学生更深刻地理解数学知识的节点，建构是为了让学生更深刻地把握数学知识的连线。把握了数学节点和连线，数学结构化教学就能不断优化，学生的数学素养就能得到不断地发展和提升。

关键词：认知结构；解构；建构

数学是一门结构性的学科。优化数学知识结构，建构学生认知结构是数学结构化教学的应然追求。华东师范大学李士锜教授认为，数学知识结构可以看成由节点和连线组成的复杂网络、系统。在数学结构、数学系统之中，节点就是知识元素、对象，表现在学生心理上就是概念表象；连线就是知识关系、联系，表现在学生心理上就是概念结构。某种意义上，学生数学学习的过程就是知识节点的解构、知识连线的建构过程。

一、解构：深刻理解数学知识的节点

所谓“解构”，是指学生根据学习任务、学习目标，根据自己的认知状态、情感体验和行为方式等对数学知识结构中的节点进行深度学习、深度加工的过程。在数学教学中，教师既可以引领学生按照时间对数学知识点、数学概念等进行解构，如分数，学生要先后学习将一个物体、一个计量单位和由许多物体组成的整体进行平均分；也可以引领学生按照空间对数学知识进行解构，如学生认识分数时，要从空间形态上认识分子、分数线和分母等。在解构中，学生要对知识的特征进行主动识别、比较、分类、概括、判断、推理等多样态的信息加工。

1. 解构“迷思概念”

解构是建构的基础，学生数学学习首先就是解构。在学生解构性学习中，首先是对学生迷思概念的解构。所谓“迷思概念”，是指学生在日常学习生活中自然而然形成的错误概念。这些迷思概念有的由于学生的认识模糊而产生，有的是因为生活概念的影响等。解构“迷思概念”，就是要引领学生辨析迷思概念、消解迷思概念、转变迷思概念。如“垂直”概念，学生由于受生活习惯的影响，往往形成“垂直就是竖直”的迷思概念。教学中，教师可以从线段的上方一点让学生作垂线，然后将线段旋转。在这个过程中，学生能够发现，垂线不再是竖直的了，而是跟着旋转，但两条直线之间的夹角却永远是90°。由此解构学生头脑中原有的“垂直是竖直”的迷思概念，让学生形成对“垂直”概念内涵的本质认识。

2. 解构“认知对象”

数学知识是人类“生命·实践”智慧的结晶，是压缩形态的。在数学教学中，教师要引领学生对数学知识进行“解压缩”，展现数学知识诞生过程，这就是对学生数学“认知对象”的解构。如“用字母表示数”，在成人看来是稀松平常的事，但对于儿童来说却要经历一次理智跨越——从“算术思维”转向“准代数思维”。教学中，教师要对知识进行解构：从文辞代数到缩小代数再到符号代数，从用字母表示“确定的数”到用字母表示“不确定的数”，从用字母表示“变量”到用字母表示“常量”，等等。通过对认知对象的解构，学生才能理解“用字母表示数”的过程并不是简单地用字母代替数，而是对实际问题的抽象化、符号化、普适化的过程。

3. 解构“学习过程”

某种意义上，学生对数学知识的学习过程就是不断地解构、建构、重构的过程。解构“学习过程”，就是指教师在教学中要不断变换教与学方式、变换教与学呈现方式等。通过解构学习过程，不断打破学生形成的固化思维、胶着状态、认知惯习等。例如教学《乘法分配律》（苏教版小学数学教材第8册），教材安排的例题是（a+b）×c=a×c+b×c，而教师的教学决不能止于此。在学生掌握了加法与乘法的分配后，教师还应该呈现减法与乘法的分配如（a-b）×c=a×c-b×c，还应该呈现三个、四个加数与乘法的分配律如（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d，等等。只有通过“变式”，才能对学生形成的认知固着状态进行不断解构，从而让学生保留对数学知识点的本质认识。

瑞士著名教育心理学家皮亚杰认为，学习就是不断地同化与顺应。学生在数学学习过程中，需要经过从“不平衡”到“平衡”再到“不平衡”的过程。当学生现有图式不能同化新刺激时，认知结构即被破坏，这就是认知的解构，学生的旧知就需要顺应新知。从这个视角看，学生的数学学习过程就是不断地“解构—建构—再解构”的过程。学生的数学学习能力在这个过程中不断得到深化，学生的数学“核心素养”在这个过程中能够得到不断发展和提升。

二、建构：深刻理解数学知识的连线

学生对数学知识的建构主要体现在两个层面，一是对数学知识点的建构、修补，二是对数学知识结构的建构、完善。数学知识结构的建构，有助于学生深刻理解数学知识间的关联。往深处说，知识结构是基于学生科学知识点的形成基础上形成的，同样，知识点也只有放置于结构之中才能更好地被理解。知识点和知识结构是相辅相成、相得益彰的。

1. 建构“知识体”

数学知识节点总是处于知识连线之中。数学知识节点能否纳入数学知识结构之中主要依赖于学生头脑原有知识点的“可利用性”“可辨别性”和“稳定性”。所谓“可利用性”，是指学生旧知中拥有同化新知的固定点；所谓“可辨别性”，是指学生对新旧知识点的异同点能被辨别；所谓“稳定性”，是指学生认知结构中的原有观念是稳定的。教学中，教师要充分运用知识点，进行横向整合与纵向拓展，让知识点串联成知识串，并联成知识面，建构成知识网、知识体。如五年级学习了“因数与倍数”“公因数与公倍数”“最大公因数和最小公倍数”“约分与通分”，六年级学习了“分数加减法与分数乘除法”等知识后，教师要引领学生对这些知识点进行统合。在统合过程中，学生才能对知识点的源头、根据、指向、流向、作用、关联等形成深刻洞察，才能厘清知识的发展脉络。只有建构成“知识体”，单个知识点才能凸显意义和价值。

2. 建构“认知体”

学生在数学学习过程中，不仅能够获得数学知识，而且能够习得数学思想方法，积淀数学活动经验。这些思想方法、活动经验有时具有较强的迁移性、指示性，能够形成学生良好的“认知结构”。知识结构是客观的知识存在，认知结构则是学生的心理存在。良好的数学认知结构能够迅速地吸收新知，能够灵活地运用知识，能够产生、创造新知。例如，当学生建构了“平行四边形的面积推导方法”后，就能积淀剪切、平移的操作活动经验，就能初步感受转化的思想方法，就能有意识地将转化前后的图形进行比较，等等。这些认知体（包括经验、思想、意识等）能够促进学生的数学学习。如学生在推导“三角形的面积”“梯形的面积”“圆的面积”时，教师就可以放手让学生尝试、探究。建构“认知体”，需要教会学生记忆基础知识，指导学生组织学习材料，运用编码策略进行数学理解等。

3. 建构“学习体”

学生的数学学习不仅依赖于数学知识结构、学生的认知结构，而且与学生的学习结构密切相关。如果说，知识结构是学生数学学习的“原料”、认知结构是学生数学学习的“粘合剂”，那么，学习结构是学生数学学习的“建筑用具”。在学生数学学习中，常见的有逻辑型学习结构、层次型学习结构等。例如，学习《三角形内角和》（苏教版小学数学四年级下册），学生就依托逻辑型学习結构展开了这样的探索：将“三角形的内角和”分类成“直角三角形的内角和”“锐角三角形的内角和”和“钝角三角形的内角和”分别进行探究；当学生用数学实验的方法探究出“三角形的内角和”后，有学生就猜想能够用严格证明的方法（演绎法）探究“三角形内角和”；当学生探究出“三角形的内角和”后，就猜想“四边形的内角和”“五边形的内角和”“多边形的内角和”，等等。这些都是学生层次性学习结构的具体体现。良好的学习结构能够让学生生发出多元思维的触角，引发学生的创造性思维。

数学知识结构的整合与学生认知结构的优化都依赖于学生的学习结构。同时，数学知识结构的整合尤其是学生认知结构的形成能够助推学生学习结构的优化。一个学习结构优良的学生通常能够举一反三，学习的严谨性较强，学习的抽象度较高。因此，建构学生的数学知识连线是结构化教学的核心。

知识节点和知识连线是相互渗透、相互联系、相互影响、相互制约的。在数学教学中，教师不仅要关照学生的迷思概念、认知对象以及学习过程解构，更要关注数学知识结构、学生认知结构以及学生学习结构的建构。只有当教师不仅关照了知识节点的优化，更关注了节点与节点之间连线的优化，从而形成最佳结构时，才能发挥数学课堂教学的整体效益。抓住数学课堂的整体结构优化，也就抓住了数学教学的“牛鼻子”。结构化教学能够实现教与学的统一、想与做的合一，从而引领学生走向优质高效的数学学习。