一道大学生数学竞赛题的思考与推广

王奉龙

【摘要】本文借助定积分的三种表达形式、广义积分中值定理、微分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式求解该极限题，并将此极限结果推广到一般形式.

【关键词】无穷和式极限；定积分定义；广义积分中值定理；微分中值定理

高等数学是以函数为对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门学科，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论.由于极限贯穿于整个高等数学的学习过程，故极限的计算显得尤为重要.在极限求解的学习过程中，作者查阅了相关教材并阅读了相关期刊文章，却未发现有与该题类似解题思路的题目，该题显得极为特殊，故本文将不再赘述其他极限求解的方法，而以一道全国大学生数学竞赛题为例讲解此极限题求解的思路与方法，并予以推广到一般形式.

一、竞赛真题

三、结 语

本文主要探讨了此类特殊极限的求解思路与方法，对于极限问题的求解，其主要思路就是将题目中未知的信息与我们已知的信息建立联系，并使得题目符合极限运算的过程.针对此题，须借助定积分多种书写形式建立联系，應用广义积分中值定理，微分中值定理—拉格朗日中值定理与牛顿—莱布尼兹公式简化运算过程.可见，该题详尽地考查了定积分定义以及微分中值定理、积分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式等微积分主干内容，是一道选拔数学人才不可多得的好题.极限的运算具有极强的技巧性和灵活性，在求解类似特殊极限题之前，应对极限运算法则与极限的基础解法融会贯通，并适时地联系积分中值定理、微分中值定理、泰勒定理等方能对此类较为复杂的极限进行求解.

【参考文献】

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