一类新的非线性发展包含问题

2018-10-27刘小佑

邵阳学院学报（自然科学版） 2018年5期

刘小佑，代帆

(南华大学数理学院，湖南衡阳，421001)

最近，在文献[1-3]中讨论了几类带历史依赖(history-dependent)项的变分-半变分不等式解的存在性及其在接触力学中的应用。在这些文献中，由于多值项是由Clarke次微分[4]定义的，可知这些多值项是取凸值的。在文中，将把上述问题推广到多值项允许取非凸值的非线性发展包含的情形。众所周知，非线性发展包含[1-3,5-9]具有很广泛的应用。

记I=[0,T]，T>0为常数。设(V,H,V*)为一个三重发展包含(evolution triples of spaces)。考虑如下一类抽象的非线性发展包含问题：

(1)

其中A：I×V→V*是一个非线性单调算子，δ为一个适当定义的，用来模拟历史依赖项的非线性算子(此处的δu(t)≜(δu)(t))，F：I×H→2H{Φ}是一个可能取非凸值的集值函数，u0∈V为方程给定的初值，此处关于时间的导数是向量值分布(vectorial distributions)意义下的。在下文中将讨论上述非线性发展包含问题(1)弱解的存在性。

1 预备知识

在此小节将介绍一些以后要用到的预备知识。

称(V,H,V*)为一个三重发展包含，若V是一个可分自反的Banach空间，H是一个可分的Hilbert空间，嵌入V⊆H是连续和稠密的。V*表示V的对偶空间。

设2≤p<+。引入以下空间，其中1/p+1/q=1。记空间此处的时间导数同上也是向量值分布意义下的。空间W赋予范数后，它成为一个可分自反的Banach空间[6]。此时有以下连续嵌入W⊆⊆⊆和W⊆C(I,H)。另外若嵌入V⊆H还是紧的，则W紧嵌入到用w～V表示给空间V赋予的是弱拓扑。如无特别说明，空间V都是指强拓扑(范数拓扑)。

设Y和H为两个可分的Banach空间。集值函数F：I→2Y称为是可测的(弱可测的)，若对任意闭集(开集)E⊆Y，集合{t∈I：F(t)∩E≠Φ}是可测的。相应地，若集值函数为F：I×H→2Y，其可测性的定义是相对于I×H中的σ代数Σ×B，此B表示空间H中的Borel集σ代数[10]。设X和Z是两个Hausdorff拓扑空间。集值函数F：X→2Z{Φ}称为在点x0∈X是下半连续的(简记为l.s.c.)，若对任意开集O⊆Z，F(x0)∩O≠Φ，则存在点x0的邻域U(x0)，使得对任意x∈U(x0)有F(x)∩O≠Φ。有关更多集值分析的内容请参看文献[11]。集值函数F：I→2Y所有属于Lp(I,Y)(1≤p≤+)的可测选择记为即有

下面给出考虑问题(1)所需要的假设条件。

H(A)算子A：I×V→V*满足：

1)∀v∈V，t→A(t,v)是可测的；

2)对a.e.t∈I，v→A(t,v)是单调的和半连续的(hemicontinuous)；

H(F)集值函数F：I×H→2H{Φ}是取闭值的，且满足：

1)对a.e.t∈I，h→F(t,h)是下半连续的；

2)映射(t,h)→F(t,h)是弱可测的；

其中R：I×H→H满足：

1)t→R(t,h)是可测的；

2)h→R(t,h)是连续的；

2 相关引理

首先给出问题(1)的解的一个先验估计。

引理1 若假设H(A)，H(δ)和H(F)满足，则存在常数L>0，使得对问题(1)的任一可能解u都有

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‖u‖W≤L，‖u‖C(I,H)≤L

(2)

引理1的证明过程是相对容易的，故在此略去。可以参看文献[7-8]中类似估计的证明过程。记ψ(t)=d(t)+a1(t)+b1L2/q+e(TLp)2(p-1)，显然ψ∈Lq(I,R+)。引入集合

(3)

为求解问题(1)，先考虑以下辅助算子方程：

(4)

上述辅助问题的解算子记为u=S(g)。