最值问题的错例剖析
2018-10-26张艳
张艳
摘 要：最值问题是中学数学中一类重要问题，但有时由于不慎，思路紊乱，导致解题时出现这样或那样的错误。本文针对这种情况，结合数学教学的实际，归纳整理了求解最值问题中一些常见情况，总结和剖析10类常见的错误类型，以供参考。
关键词：定义域 值域 条件
最值问题是中学数学的热点问题，其解法繁多且灵活多变，而且涉及的知识面颇宽，求解时稍有不慎，极易出现因思路紊乱而导致错解、误解的现象，而且某些错误又较为隐蔽，不易被人们所察觉。下面分类解析一些常见的错误题解，通过展示错解，剖析错因，给出正确解答，以达辨别正误，暴露错因，提高解题能力的目的。
一、消元时忽视条件的限制致误。
解二元条件最值问题，常通过消元减少变量，但在消元过程中要注意各变量之间相互制约关系。
例1
设 ，求 的取值范围。
错解：
（*）
由| | 1， .
分析：显然当 时， ，则 矛盾。 是错的，错在消元 得到（*）式时，忽视了对剩余元 范围的限制。
正解：
。
二、换元时忽视变量的范围致误
换元前后的变量之间实际上是自变量与因变量的关系，确定换元后的表达式中变量范围时充分考虑换元前变量范围的限制。
例2.在曲线 上能否找到一点 ，使 最小。
错解：
由 ，令
，设 ，有 ，当 时， ，
而 无解，即S无最小值。
分析：
求解中未考虑 的范围，
为双曲线 在第一象限内的一支。
正解：
令 ，设 ，有 ， 。
当 时， 。
三、忽视定义域致误
例3.求函数 的最小值。
错解1：将原式右边的x移到左边，两边平方后整理，得 为使关于x的一元二次方程有实数解，必须要有 ，
即 ，故 的最小值为 。
错解2：令 ，则 ，即 （*），应用判别式 ，即 。故 的最小值为 。
分析：错解1中变形后“ ”这一限制条件顿时失去，新方程所定義的函数定义域随之扩大，当 时，取得 ，但原来函数定义域中不存在实数x使 。
错解2中，在令 时，隐含 ，而（*）式中的t无此条件限制，要使 ，必须 ，但这是不可能的。
正解：令 ，则 ，考虑 ，故 ，当 ，即 时， 的最小值为1.
四、忽视重要不等式中等号成立的条件致误
例4 已知x为锐角，求函数 的最小值。
错解：
分析：此解法的错误原因在于忽视了基本不等式中等号成立的条件，当 才能取等号。显然满足条件的x不存在。 。
正解：
为锐角， ，
，
当且仅当 即 时取等号。
。
五、利用均值不等式解题忽视成立的条件
均值不等式中求最值是一种常用的方法，但要注意“正”、“定”、“等”是均值不等式成立的前提。解题时需考察式子是否具备均值不等式成立的条件，进行适当的拆、添、配、凑等策略进行
求解。
例5.已知 ，求 的最小值。
错解1： ，当 时取等号。
当 时， 。
错解2：
（1）即 ，又 （2）故 。
分析1：忽视“积为定值”的条件， 并非定值，因此即使 时， 未必最小。
分析2：忽视等号成立的条件，在（1）中，当 时取等号。在（2）中取等号必须 ，这显然不可能。
正解：
，
当 时取等号。
六、忽视值域致误
例6 求函数 的最值。
错解：
因为 ，
整理得， ，又 ，
有
即 ，故所求函数的最小值为 ，最大值为 。
分析：此解法看似正确。其实不然，将原来函数平方后y的取值范围随之扩大。
正解：
原来函数的定义域为 ，显然 ，故 ，从而函数的最小值为0，最大值为 。
七、方程法求函数值域时忽视检验
若函数 是最简有理分式，则其值域即为 的值域。要注意不等式的变形导致值域的扩大。另外，利用反函数求值域时，不考察对应的法则是否一一对应，忽视反函数的存在性也是一种常见的错误。
例7：求函数 的值域。
错解：
定义域 ，设值域为B， （1）约去 ，得 （2） 。
分析：函数（1）的定义域为 ，函数（2）的定义域为 ，所以（1）与（2）并非同一函数，当然（2）的值域也不一定是（1）的值域，而当x=1时，方程（2）中y=3，但当y=3时，方程（1）的解恰为x=1，而x=1并非（1）的定义域内的值，故（1） （2）变形中值域扩大了。
正解：
从以上分析可知要去掉y=3.所以y的值域为 。
八、滥用函数值域的对称性而忽视表达式的结构特征。
一般函数的值域都不具备对称性，而要根据表达的结构特征，分别确定其上限和下限，不能滥用值域的对称性解题。因此，可通过类比，数形结合，特值否定来消除“值域对称”的影响。
例8：求函数 的值域。
错解：
函数 变形为 ，这可看成是 到 两点的距离差。则 ，当P、A、B在一条直线上时取等号。
分析：显然函数的定义域不具有对称性，当 时， 不存在，函数 不成立。
正解：用极限方法求。
当 时，|PA|=|PB|即 ；
当 时，|PA|>|PB|，即 ；
当 时， ； 。
九、盲目利用判别式解题而函数问题的慎密讨论。
例9 求 的最大（小）值.
错解：
令 ，则 。
。
分析：忽视 的条件，因此应讨论为：（1） 时， 满足条件。（2） ， ， ，则转化为含参数一元一次方程的根的分布问题求解。
正解：
① 在 内仅有一根
② 在 内仅有二根，由 不成立，易得 。 。
另外，此题变形为 ，利用 在 ， 上的单调性可迅速求解。
十、忽视隐含条件致误
例10 方程 有实根，求實数a的取值范围。
错解：方程有实根， 。 。
分析：
忽视隐含条件 ，方程 有负根是方程 有实根的必要而非充分条件。
正解：本题用十字交叉相乘法可得：
。
， ， ，
， ， 。
例11 设 为方程 的两个实根，当m为何值时， 有最小值。
错解：
由已知得 ，
则 。
故当 时， 有最小值为 。
分析：此解法中，忽视了已知条件中 ，因此 或 而 不在此范围，故 不可能是 的最小值。
正解：由上述分析，最小值只能在 或 上取得。当 时， ； 时， 。因此当 时， 的最小值为 。
综上所述，错解的原因是多方面的，以上仅归纳十种类型。一般，造成错解的原因是解题者对某些概念混淆不清，公式、定理掌握不牢，理解不透。基本的方法、技能不能正确、灵活运用所致，同时思维不慎密，缺乏防错意识也是一个原因。所以只有保持头脑清醒，认真分析，联系自己所学知识，才能起到既提高解题速度又保证解题质量的效果。
参考文献
[1]刘永春.简析函数最值问题的几类常见错误[J].《中学数学研究》，2000，5.
[2]廖顺宏.求解最值问题中常见错例剖析及教学对策[J].《中学数学研究》，2000，9
