代数基本定理的拓扑证明及推广

孙艳红，高会双



代数基本定理的拓扑证明及推广

*孙艳红，高会双

（内蒙古民族大学数学学院，内蒙古，通辽 028000）

拓扑学是一个新兴的数学分支，用于研究拓扑空间在连续映射下的性质。20世纪后，拓扑学发展为数学中一个非常重要的领域，拥有大量重大成果：代数拓扑学中的庞加莱猜想的证明是新世纪最瞩目的数学成果；拓扑学在数学其他领域、物理学、化学、生物学、计算机科学、经济学中都有广泛的应用。文中主要给出代数基本定理的代数拓扑方法的证明及推广，并得出了一种复空间上的不动点原理。

拓扑；同伦；基本群；代数基本定理化

0 引言

代数拓扑学是拓扑学的一个分支，即使用代数方法研究拓扑学问题的学科。代数拓扑学的主要研究工具有同伦、同调、胞腔同调、上同调等。一维的同论群称为基本群。基本群是由拓扑空间的同伦关系诱导的一个群。基本群在代数拓扑具有重要作用，可以用于研究两个拓扑空间是否同胚，对拓扑空间进行分类，描述拓扑空间连通性等。

代数基本定理可以表述为：任意复系数多项式在复数域内至少有一根，这说明了代数运算在复数域中的封闭性。代数基本定理是代数学中一个非常重要且基础的定理，在代数学内与外都有广泛的应用。

由于该定理涉及领域很广，其证明方法有很多，据称目前已有200多种证明方法。该定理最初由法国数学家达朗贝尔最早给出证明，此后欧拉与拉格朗日也先后给出证明，但这些证明均有一些缺陷。通常认为该命题的证明最早由高斯于1799年给出。此后他又给出了三个证明，其中最后一个证明多项式系数可以为复数。

本文在第一部分中列出了所使用的一些预备知识；第二部分给出了其拓扑证明以及其扩展命题的拓扑证明，以及它的应用。

1　预备知识

1.1　同伦群与基本群

同伦关系与基本群是将几何问题转化为代数问题的有力工具。本节将介绍相关概念及性质。

基本群是一个同伦不变量，即任意两个同伦的拓扑空间具有相同的基本群。直观上看，两个空间同伦，则一个空间可以连续形变成另一个空间。常见的基本群有：

单点集、维欧氏空间、维球等空间的基本群为独异点，即只有一个元素的群。

平面上的圆环的基本群为无限循环群。

环面的基本群为两个无限循环群直积×。

1.2　代数基本定理及推论

2 代数基本定理的拓扑证明、推广及应用

本节将使用代数拓扑学中的同伦群与基本群证明代数基本定理证明。之后将代数基本定理适用范围扩展，并证明一个复数域上的不动点判定方法。

2.1 代数基本定理的拓扑证明

我国发展初期，林业资源总量比较丰富，北方森林覆盖率相当可观。为了促进国民经济水平的发展，发展林业资源已成为重要途径。随着更新造林的逐步利用，我国林业资源总量大幅度减少，主要分布在北方林区，林区总面积迅速减少。森林面积的减少破坏了我国北方原有的生态状况，对我国的进一步发展和建设产生了负面影响。目前，我国已逐渐认识到生态环境对未来发展的重要性，正在积极开展退耕还林工作。

此证明使用反证法，假设定理错误，推出了一个定点与一个圆环同伦，矛盾，因而定理成立。

借助代数基本定理可以得出许多有用的推论。此外，本节的证明只涉及了多项式函数的连续性和一个与极限有关的性质，因此可以将代数基本定理的适用范围推广，推广命题将在2.2中进行讨论。

2.2 代数基本定理的推广

本节将代数基本定理的适用范围从全体多项式推广到满足一定条件的一类函数全体。下述命题的证明与代数基本定理的证明相似。

证明 此命题的证明方法与代数基本定理的代数拓扑证明方法相似：

因此,连续。

可见，2.2中的证明方法存在一般性，其适用于比多项式更多的一类函数中。

2.3　推广命题的应用

上一节的结论可以用于讨论复空间上的一类连续映射的不动点：

3　结语

代数基本定理可以用不同角度、方法和学科知识加以证明，这反映了数学不同学科之间广泛存在的内在联系，以及代数问题与几何问题相互转化的思想。

从本文中可以看出，代数拓扑可以非常简洁地描述空间的连续性，连通性等性质，并使用代数方法进行推理。在讨论复杂的欧氏空间和映射时，很难直观地想象问题的形态，使用代数拓扑可以有效地避免这种困难。因此，代数拓扑可以作为解决几何问题的一种有力的工具使用。

[1] 周建伟．代数拓扑讲义[M]．北京:科学出版社，2007．

[2] 北京大学数学系．高等代数[M]．北京:高等教育出版社,2003．

[3] 王骁力,李涛．代数学基本定理的推论及其应用[J].南阳师范学院学报,2014,13(3):4-8．

A TOPOLOGICAL PROOF AND GENERALIZATION FOR FUNDAMENTAL THEOREM OF ALGEBRA

*SUN Yan-hong，GAO Hui-shuang

（College of Mathematics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao, Inner Mongolia 028000,China）

Topology is a rising branch of Mathematics, which studies the properties of topological spaces under continuous mappings. After twentieth Century, the topology has become a very important field in Mathematics, and it has a lot of significant results. The proof of Poincare's conjecture in algebraic topology is the most remarkable achievement in the new century; Topology is widely used in other areas of mathematics, topology, physics, chemistry, biology, computer science and Economics. Fundamental theorem of algebra was proved and expanded by algebraic topology in this article，and then we obtained the fixed point theorem on complex space.

topology；homotopy；fundamental group；fundamental theorem of algebra

1674-8085(2018)04-0017-04

O152

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.04.004

2018-01-22；

2018-04-19

内蒙古自治区自然科学基金项目(2016MS0118)；内蒙古民族大学校级项目(NMDYB15020)

*孙艳红(1984-)，女，内蒙古赤峰人，讲师，硕士，主要从事拓扑学的研究(E-mail:240899343@qq.com);

高会双(1981-)，女，内蒙古通辽人，副教授，硕士，主要从事矩阵理论和算子代数的研究(E-mail:gaohuishuang@163.com).