矩的概念在图像处理中的意义

徐亚超　贾兆栋

摘 要： 本文论述了矩的概念在图像处理中的意义，首先分析了矩的物理意义，进而分析演算了其数学意义，最终进一步理解矩的图像意义。分析表明，矩在数字图像处理和模式识别中的普遍应用均有其严谨的物理含义和数学逻辑。

关键词： 矩 物理学 统计学 图像处理 模式识别

0引言

机器视觉技术的发展是智能化世界到来的强大推手，而机器视觉研究的重点之一是模式识别，高效的提取图像中的特征信息是模式识别的重点研究课题。本文首先阐述了矩的物理意义，进而分析演算了其数学意义，最后论述了矩在图像处理中的科学意义。

1物理中的矩

在力学中，矩是表示距离和物理量乘积的物理量，表征物体的空间分布。原则上任何物理量和距离相乘都会产生力矩，质量，电荷分布等。单个点的力矩：，多个点则是积分的空间密度：，如果点表示质量，则第零矩是总质量，一阶矩是重心，二阶矩是转动惯量。

2数学中的矩

在统计学中，矩表征随机量的分布。如一个“二阶矩”在一维上可测量其“宽度”，在更高阶的维度上由于其使用于橢球的空间分布。其他矩用来描述诸如与均值的偏差分布情况（偏态），或峰值的分布情况（峰态）。实数域的实函数相对于值c的n阶矩为：，如果点表示概率密度，则第零阶矩表示总概率（即1），1，2，3阶矩依次为以下三项。数学中的概念与物理学中矩的概念密切相关。

随机变量的期望定义为其一阶原点矩。在方差等定义中，期望也成为随机变量的“中心”。随机变量的方差定义为其二阶中心矩：。

归一化n阶中心矩或者说标准矩，是n阶中心矩除以标准差，归一化n阶中心矩：，这些归一化矩是无量纲值，表示独立于任何尺度的线性变化的分布。

随机变量的偏态定义为其三阶中心矩。需要注意，任何对称分布偏态为0，归一化三阶矩被成为偏斜度，向左偏斜具有负偏度，向右偏斜分布具有正偏度。一般随机变量的峰度定义为其四阶中心矩与方差平方的比值再减3。峰度表示分布的波峰和尾部与正态分布的区别，完全符合正態分布的数据峰度值为0。混合矩是多个变量的矩，比如协方差，协偏度，协峰度。构建为中心转换。

3图像的“不变矩”

在图像处理中，图像矩是图像像素强度的某个特定加权平均（矩）。通过图像矩得到的图像的简单属性包括面积（或总强度），其质心和关于其方向信息。中心矩在数字图像处理中可以改写为：

。

矩不变量不变量本身的唯一矩是中心矩。 通过构造，任意阶中心矩相对于平移都是不变的。相对平移和尺度的不变量可以通过适当的缩放零阶中心矩阵从中心矩构建：，平移不变量仅仅在中心矩时直接跟随使用。我们经常提到的Hu矩七个不变矩的构造即是平移、放缩和旋转不变的。

4结语

一阶矩与形状有关，二阶矩显示曲线围绕直线平均值的扩展程度，三阶矩则是关于平均值的对称性的测量。不变矩是图像的统计特性，满足平移、伸缩、旋转均不变的不变性。由三阶矩以下矩构成的七个矩不变量具有平移、旋转和尺度不变性等等。

参考文献：

[1] 王耀明.几何矩及其几何矩不变量（英文）[J].上海电机学院学报，2006，2：7-10.

[2] 张伟，何金国.Hu不变矩的构造与推广[J].计算机应用，2010，9：2449-2452.

作者简介：一作：徐亚超（1992—），汉，籍贯山东泰安，研究生，山东科技大学，研究方向：机器视觉与模式识别。

二作：贾兆栋（1990—），汉，籍贯山东泰安，研究生，山东科技大学，研究方向：机器视觉与模式识别。