修正机械比能模型的研究

苏 超，李士斌，王昶皓，刘照义

（东北石油大学石油工程学院，黑龙江大庆163318）

机械比能被广泛应用于石油勘探开发中钻头性能的评价。它不仅可以提供实时钻井性能的评价，还可以随钻监测井下的工况，为可能发生的复杂事故及时做出适合的预案[1]，对提高钻探效率、降低钻探成本具有重要的理论指导意义。

1965年，R.Teale[2]针对不同岩性的岩石采用不同类型的钻头，进行大量实验，建立了机械比能的原始模型；1992年，R.C.Pessier[3]通过机械比能理论定性的分析了钻头在钻井过程中的磨损情况，但是并没有定量的分析钻头的磨损等级；2002年，R.J.Waugham等[4]建立了实时机械比能监控系统，利用该系统可以及时发现PDC钻头的磨损情况，并没有提出定量的分析，仅仅停留在钻头钝化趋势的分析上；2012年樊洪海等[5-6]提出基于钻速方程和测井录井数据定量分析钻头磨损监测方法，该方法可以通过计算岩石抗压强度和钻头磨损等级分级系数来监测钻头的磨损情况；2014年崔猛[7]提出了基于螺杆钻具的输出扭矩，提出对机械比能模型的描述；2017年大庆油田录井公司提出对功交汇面积求解的设想[8]。

1 模型建立

钻进单位体积岩石所消耗的能量定义为机械比能。也可以认为破碎单位岩石体积所消耗的能量，由此可知机械比能的模型公式：

式中，E为机械比能，MPa；W为钻头施加的钻压，kN；Ab为钻头面积，mm2；Rop为钻速，m/h。

由于在不同的区块，地质条件不尽相同，地层的物性也不同，甚至于同一区块的不同层系也存在差异，为避免求取基值线时主观因素的影响，使其在现场具有较好的实时性和实用性，笔者提出了修正的机械比能模型，即：

式中，E为机械比能，MPa；Db为钻头直径，mm；P为录井监测钻压值，kN；αk为井底井斜角，（º）；μwell为井壁的摩擦系数，无因此量；q为钻具每转排量，L/r；Δpp为钻具进出口的压力降，MPa；n为地面转速，r/min；Q 为总流量，L/r；μbit为钻头特定的滑动摩擦因数，无因此量；KN为动力钻具的转速流量比，r/L；v为钻速，m/h。

2 钻压校正

指示钻压是钻井过程中钻台所示的钻压即为井底作用在钻头上的钻压。在现场工况下，由于钻柱和井壁相互摩擦，导致钻台上钻压的测量值与井底钻头上的实际钻压存在一定的误差。根据牛顿定律，就钻压在各井段上对钻柱所产生的力进行分析，求解井口压力[9]。

2.1 校正钻压在各井段钻柱内所产生内力

2.1.1 垂直井段受力 利用微积分和二力平衡原理，从垂直段钻柱中任取一段，即该微元上所产生的力如图1所示，计算公式如（3）、（4）所示。

式中，T为力值，N；ΔT为力的变化值，N。

所以，认为在垂直井段，钻压在钻柱的各个截面上所产生的应力值相同[10]。

2.1.2 增斜井段受力 取出钻柱中一段微弧AB，A处所受力为T，井斜角为α，B处所受力为T+ΔT,井斜角为α+Δα，如图2所示。设A点内力方向（A点切线）与微弧AB成角θ，那么B点内力方向（B点切线）与AB也成角θ，由此可导出[11]：

图1 直井段钻柱微元受力图示Fig.1 Straight drillstring force diagram

图2 增斜井段钻柱微元上产生的内力Fig.2 Internal force produced by build section

对A、B两点所受力进行正交分解，根据牛顿力学定律，解得与AB正交方向的正压力N为：

式中，f设为钻柱与井筒间的摩擦力。由于钻柱下放，故摩擦力的方向向上。

式中，μwell为井壁的摩擦系数。

钻进过程中由于黏滞性表现出的摩擦μwell由两部分摩擦综合表现，一部分是接触面边界的摩擦，另一部分认为是流体（例如：钻井液）与负荷较高的边界的摩擦。钻井液的润滑性在所有影响中是主要可调节的因素，因此μwell取值为钻井液的摩阻系数。

将式（9）代入式（8）得：

式中，C为常数。

根据边界条件，假定井斜角为α0，内力为T0，则可求出常数：

所以，由于钻压产生的钻柱内力随着井斜角的增大逐渐减小。

2.1.3 稳斜井段受力 稳斜井段受力示意图如图3所示。

图3 稳斜井段钻柱微元上产生的内力Fig.3 Internal force produced by stable slope

由于在稳斜井段钻柱与井壁相互平行，即：钻头所提供的钻压与井眼轨迹平行。

钻柱与井筒内壁接触，井筒与钻柱的轴线呈现平行关系，钻头施加的钻压与井筒平行，即钻头对井壁没有产生力，虽然钻柱与井壁接触，但钻头与井筒并没有产生力的作用，因此：

因此，钻压对稳斜段钻柱中的内力并不会产生影响。

2.1.4 降斜井段受力 同增斜段类似，降斜井段钻头施加钻压所产生的应力为负值，即降低了钻柱自重产生的正应力。求解时，可认为产生一个向下的摩擦力。与增斜段类似，降斜段井斜角的大小与钻柱内所产生的内力呈现负相关。

2.2 校正录井钻压至钻头破岩钻压

2.2.1 垂直井段钻压 由于垂直井段内力不变，井口钻压与井底钻压相等，即：

式中，p为井口钻压，kN；pb为井底钻压，kN。

2.2.2 增斜井段钻压 设直井段与增斜段的交点为A（见图4（a）），可得：

式中，αk为井底井斜角。边界T0和α0已用已知的边界条件代入，解得：

图4 各段示意Fig.4 Diagr ammatic sketch

2.2.3 稳斜段钻压 设增斜段与稳斜段的交点为B（见图4（b）），可得：

2.2.4 降斜段钻压 设稳斜段与降斜段的交点为 C（见图 4（c）），可得：

通过分析，各井段的井底钻压均可用同一表达式求取，即 p=pb⋅eμwellαk。由此可知，定向井井口钻压与井底钻压之比与井底的井斜角和井壁摩擦系数有关且呈现指数关系。

3 校正扭矩

录井工程能提供钻头钻压、转盘转速和机械钻速等参数，但无法提供井下钻头的真实扭矩值，需要利用钻头滑动摩擦系数和钻压计算钻头扭矩。因此，为了获得钻头扭矩，特将钻头作简化处理，并引入钻头特定滑动摩擦系数[10]，得到简化后的钻头扭矩求解公式[11-13]。

式中，Tb为扭矩，kN·m；DB为钻头直径，m；W为钻压，可由校正后的钻头钻压代替，得到扭矩计算公式：

其中，p为录井监测钻压值。由于μbit为钻头特定的滑动摩擦因数，主要取决于钻头类型。因此针对不同钻头类型，开展在不同钻压下的扭矩监测实验，确定μbit取值并校正钻头扭矩计算模型。实验结果如表1、2所示。

表1 PDC钻头扭矩实验Table1 Experiment of PDC bit torque

表2 牙轮钻头扭矩实验Table2 Exper iment of cone bit torque

由实验结果确定滑动摩擦系数μbit，PDC钻头μbit取 0.48，牙轮钻头μbit取 0.25。

4 复合钻进扭矩计算

复合驱动是指钻头通过地面和地下同时进行驱动运转，地下驱动占主导地位[14]。螺杆钻具主要性能参数是扭矩和转速，螺杆的理论转速只与流经钻具的流量和钻具每转的排量有关，而与工况（钻压、扭矩等）无关，即

式中，RL为螺杆钻具输出的理论自转转速，r/min；Q为总流量，L/s；q为钻具每转排量，L/r；KN为动力钻具的转速流量比，r/L。

如果地面转速为n，则钻头的理论总转速为：

假定螺杆的理论扭矩为TL。在不计能量损失时，根据容积式马达工作过程中的能量守恒，在单位时间内钻头输出的机械能量TLωT应该等于螺杆钻具输入的水力能量，进行单位变换后则有：

式中，ωT为钻头理论角速度，rad/s。Δpp为钻具进出口的压力降，MPa。

由式（29）、（30）可得：

式中，TL为螺杆钻具的理论扭矩，k N·m。因此，复合钻进总扭矩可表示为：

钻进岩石过程中机械比能的计算公式由R.Teale[2]提出的：

该公式验证了在相对理想条件下，岩石的抗压强度与机械比能数值上相等。将录井资料校正后的钻头钻压与扭矩代入式(33)中，便可以得到：

5 功交汇模型

基于机械比能模型可衍生出垂向功和切向功模型，令

式中，WH为钻头垂向做功，WL为钻头切向做功。

作为钻井工程中综合性指标的可钻性，它的大小直接影响着钻进效率和机械比能。

以达深17井为例，具体参数如表3所示。根据功交汇模型，对大庆油田达深17井垂向功和切向功随井深变化趋势分析（见图5）可以看出。

表3 达深17井参数Table3 Technological parameters of well Dashen 17

对照该井油气显示统计，比能突然下降的深度对应为煤层。在储层物性较好的层位，垂向功和切向功同时变小，而垂向功较之切向功下降速度快，幅度大。这是由于地层物性与钻时钻压呈现负相关。而井底扭矩主要是钻头切削井壁产生的，因此下降的幅度较小。

图5 达深17井机械比能随井深变化趋势Fig.5 Deep change trend of mechanical specific energy in well Da Shen 17 well

6 结论

（1）利用机械比能的交汇分析钻头破岩效率有较好的应用前景：一方面应用于区域探井中可以为钻头的选型、优化钻井参数提供重要的参考依据；另一方面应用于水平井中，由于地层岩性变化的影响因素弱化更能直接反映钻头的磨损和寿命情况。

（2）利用功交汇模型可以较好地反映井底的工况，以及垂向功与切向功的数量关系：同深度下的垂向功恒大于切向功。

（3）当垂向功与切向功交汇时，垂向功急剧减小，呈现“放空”现象，即该层位地层孔隙度大，钻头所需能量低易于破岩。

（4）基于机械比能模型的钻头做功交汇模型，规避了非客观因素对机械比能比值模型基准线的的影响，增强了现场物理性质评价的准确性。