具两奇异端点的J-对称微分算子的J-自伴域*

林秋红

(广东理工学院 基础部，广东 肇庆 526100)

0 引 言

J-对称微分算子是一类特殊的有着重要应用背景的非对称微分算子[1]，对此已经有了很多方面的研究. 在原子核物理、电磁场理论以及非均匀介质中的无线电波的传播等应用问题中，由微分算式所生成的J-自伴微分算子是很重要的一类算子[2].

关于J-对称微分算子的J-自伴扩张问题，自Glazman在文献[3]中最先提出了J-对称微分算子和J-自伴算子的概念后，Galindo和Knowles相继用不同的方法证明了任何J-对称微分算子都有J-自伴扩张的结论. 1985年，Race在文[4]中提出了J-对称微分算子的J-自伴扩张的一般理论. 1988年，尚在久在文献[4]的基础上，把曹之江[5]和孙炯[6]研究对称微分算子的自伴扩张的方法推广到J-对称微分算子的J-自伴扩张问题，利用方程τ+τ=-y的解给出了J-自伴扩张域的边界条件的描述，这些边界条件不仅在正则点处有限制，而且在奇异点处也有限制. 1991年，尚在久在文献[2]中进一步讨论了当J-对称微分算式的系数是实值函数时，由它生成的自伴算子和J-自伴算子之间的关系，给出了具有一个奇异端点的既是自伴又是J-自伴的边条件的解析描述. 然而，这只是J-自伴微分算子在(-∞,∞)上的局部描述，而不是完全描述. 近几年，关于J-自伴微分算子的研究仍然引起许多学者的关注，也取得一些成果[7-11].

关于具有两个奇异端点的对称微分算子的自伴扩张域，尚在久和朱瑞英[12]给出了讨论，并得到(-∞,∞)上阶对称微分算子当其端点-∞和∞的亏指数分别在四种情形下的自伴域的局部解析描述，之后李文明[13]进一步给出了具有两个奇端点有相等亏指数的对称微分算子自伴域的完全描述.

本文将文献[13]中对亏指数的讨论方法推广到J-对称微分算子的J-自伴扩张问题，讨论当J-对称微分算子系数为实值函数时，在(-∞,∞)上有相等亏指数的J-自伴域的完全描述，进一步完善J-自伴的边条件的解析描述.

1 预备知识

定义1[4]设J是定义在Hilbert空间H上的映射，满足

(Jx,Jy)=(y,x),J2x=x.

定义2[4]设A是稠定线性算子，定义域为D(A)，如果(Jx,Ay)=(JAx,y)，则称A是J-对称的.A是J-对称的充要条件是JAJ⊂A*，其中A*是A的共轭算子. 如果A*=JAJ，则称A是J-自伴算子.

引理1[4]每个J-对称算子都有一个J-自伴算子.

设式(1)是定义在(-∞,∞)上的n阶非对称微分算式

(1)

式中：pk(t)∈Cn-1(-∞,∞)(k=0,1,…,n),p0(t)≠0, -∞

令T0表示T的最小算子，定义域为D0.T1表示T的最大算子，其定义域D1，则

D1={y∈L2(a,b)∶y[k]∈ACloc(a,b),

0≤k≤2n-1,τ(y)∈L2(a,b)}.

且T1y=τ(y)(y∈D1).

引理2[4]

D1=D0⊕{y∈D(JT1JT1)∶JT1JT1y=-y},

(2)

D1=D0⊕{y∈D1∶τy=iy}⊕

{y∈D1∶τy=-iy}.[2]

(3)

设τ(y)的在-∞和∞的亏指数分别为(p,q)和(r,s)，且p,q,r,s满足

p+r=q+s.

(4)

由Kodaira公式知τ(y)在(-∞,∞)上具有相等亏指数(r+p-n,s+q-n)，从而知τ(y)的最小算子可以扩张成J-自伴算子.

命题1[13]如果y∈D1，则有下列唯一的表达式

(5)

(6)

(7)

D(JT0J)⊕L(τ(x1),…,τ(x2m)).

(8)

引理5[4]设defT0(τ)=m，则D1内线性流形D是T0(τ)的J-自伴域的充要条件是存在wi∈D1(i=1,…,m)使得:

i) {wi}模D0线性无关;

2 主要结论及证明

rankE=r+s-n,rankF=p+q-n.

(9)

(10)

由式(6)得

(11)

(12)

(13)

(14)

由此得

(15)

2)rankE≥r+s-n.

由引理2 ，存在常数ckj，满足

(16)

rank(ckj)(r+s)×(r+s)=r+s.

(17)

根据引理3，得

对于农业机械设备推广机构中所存在的问题来说，首先我们必须要对机构的各项工作进行完善，从而保证推广机构的工作效率。并且，建立完善的农机设备推广体系，保证农业机构的运转正常，对于相关机械设备的推广人员要加强其自身专业水平的提高，从而保证推广的质量。因此，在进行农业机械设备的基层销售人员，必须要加强其工作热情，提高自身工作实力，然后将农业推广的各项政策进行落实，真正的使农业发展得到有效的保障。

(18)

(19)

故有

(20)

综上(1)和(2)得，rankE=r+s-n.

由式(5)得

(22)

不失一般性，可设E的前r+s-n行线性无关，F的前p+q-n行线性无关. 即若记

(23)

则

rankE1=r+s-n,rankF1=p+q-n.

(24)

(25)

(26)

证明由文献[3]中引理3. 6可得证.

定理2 设T0(τ)由τ(y)生成的最小算子，若在-∞的亏指数为(p,q)，在∞的亏指数为(r,s)，且满足r+p=s+q，记m=r+p-n，则D1中的线性流形D是T0(τ)的J-自伴扩张域的充要条件是存在阶m×(p+q-n)常数矩阵M和m×(r+s-n)阶常数矩阵N，使得

1)rank(M⊕N)=m，

2)MB-MT=GB+GT，

证明充分性. 设m×(p+q-n)矩阵M和m×(r+s-n)矩阵G满足1)～3). 令

M=(ξij)m×(p+q-n),G=(ηij)m×(r+s-n),

(27)

(28)

(29)

令

(30)

显然vi∈D1，且

(31)

(32)

所以条件(3)转化成引理5的边条件iii)的形式. 下面证{vi}满足引理5的条件i)和ii).

(33)

由于u∈D0，故对任意y∈DM有[u,y](-∞)=0，因此

由式(24)知，rankE1=p+q-n，故有(c1…cm)M=0，同理可证(c1…cm)G=0，从而(c1…cm)(M⊕G)=0，由M,G满足条件i)可推出ci=0, (i=1,…,m).

这样由引理5知，D是τ(y)的J-自伴域.

M=(ξij)m×(p+q-n),G=(ηij)m×(r+s-n),

(35)

则

(36)

同理可证

(37)

从而D的边条件化成(3)的形式. 下面证明(1)和(2).

1) 设(c1…cm)(M⊕G)=0，则(c1…cm)M=0. 由vi的分解式，可得对任何y∈D1有

(38)

由1)得ci=0(i=1,…,m)，因此rank(M⊕G)=m.

2) 由vi的分解式可得

(39)

写成矩阵形式为

(40)

同理有

(41)

于是

(42)

定理得证.

按照τ(y)在-∞和∞的亏指数，给出下面三种特殊情形的J-自伴扩张域的描述，如表 1 所示.

表 1 几种特殊亏指数Tab.1 Several special deficiency indices

定理3 设T0(τ)是(-∞,∞)上τ(y)生成的最小算子，则D1中的线性流形D是T0(τ)的J-自伴扩张域的充要条件是：

1) 存在n×n矩阵M和N，使得

i)rank(M⊕N)=n，

ii)MB-MT=GB+GT，

2) 存在r×n矩阵P，使得

i)rankP=r;

ii)PB+PT=0，

证明略.