怎样寻找解题的思维起点

2018-10-25杨春华

初中生世界 2018年39期

杨春华

解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案.这个答案在数学上也叫“解”.所以，数学解题就是找出数学题的解的思维过程.解题过程就是根据问题条件，利用相关的数学基本知识、基本技能、基本思想和活动经验，有计划、有步骤、有目的地进行逻辑推理活动.它通常有4个阶段：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思.要快速准确地解题，选择准确的、科学的思维起点至关重要.为了便于同学们快速准确地解决数学问题，本文将以圆中的重点题型为例，对寻找初中数学解题思维起点的策略进行简单的分析，以期对同学们有一定的启迪与思考.

一、直接将题设条件作为思维起点

有同学在审题时不认真，没看清题目的条件，导致解题无从下手.防止这种情况出现的方法是，在阅读时放慢速度，对每一个条件尽可能发散思维，思考由每个条件可以得到哪些结论，再将这些结论进行融合，找到相互间的关联，从而达到解决问题的目的.

例1如图1，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）.

图1

【分析】本题考查了圆的切线性质、三角形相似条件及性质的相关知识.本题要求线段PA的长度，只需连接切点D与圆心O，则由切线性质即得OD⊥PC，再结合BC⊥PC，得结论OD‖BC，利用△POD∽△PBC的对应边成比例求出线段PA长度即可.有部分同学由于没准确提取条件“PD与⊙O相切于点D”中的“点D是切点”信息，而不能快速联想“看切点，连圆心，得垂直”这一常见添加辅助线思路.

【解答】解：连接OD.∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PC，

又∵BC⊥PC，

∴OD‖BC，

∴△POD∽△PBC，

解得：PA=4.

故答案选：A.

【点评】解决数学问题，常常借助条件作为思维的起点.特别是数学中的几何问题，可以采用边阅读边在图上标记条件的方法，并将随之而得的结论写（画）在图形的旁边，再将这些结论进行融合，找到相互间的关联，从而发现解决问题的途径，达到解决问题的目的.

二、挖掘题设中的隐含条件作为思维起点

有些数学问题常常需要挖掘题设中的隐含条件，而圆中的隐含条件往往是一些基本图形.这就需要我们熟悉这些基本图形，将复杂图形转化为几个基本图形的叠加.将这些隐含的基本图形作为思维的起点，可以使题设条件明朗化、具体化，从而达到明晰解题方向、寻求最佳解题方案的目的.

例2如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.

（1）求证：△AFG∽ △DFC.

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.

图2

【分析】本题考查了正方形的有关性质、圆内接四边形的性质、三角形相似条件及性质、直角三角形勾股定理的相关知识.第一小题欲证△AFG与△DFC相似.根据圆内接四边形性质及邻补角概念，可得∠AGF=∠DCF，再利用垂直定义、正方形性质、同角的余角相等的相关知识，可得∠GAF=∠CDF，从而第一问得证.第二小题欲求⊙O半径，则可先求⊙O直径，而借助第一问三角形相似及△AED中“母子三角形”相似所得对应边成比例，可得线段AG=AE=1，再由勾股定理求得圆的直径而得半径.有部分同学看不出隐含在题目图形中的基本图形：圆内接四边形及“母子三角形”，导致题设条件不明朗、不具体，不能达到明晰解题方向、快速寻求解题方案的目的.

【解答】证明：（1）因为在正方形ABCD中，∠ADC=90°，

则∠CDF+∠ADF=90°，

∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠CDF=∠DAF.

∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，

∴∠FCD+∠DGF=180°，

又∵∠FGA+∠DGF=180°，

∴∠FCD=∠FGA，

∴△AFG∽△DFC.

解：（2）如图3，连接CG.

∵∠EAD=∠AFD=90°.