对称性：从多边形到圆
2018-10-24徐章韬马菡梁玉
徐章韬 马菡 梁玉
摘 要：要让“圆”的学习变得容易一些，化曲为直是最根本的思路。考虑到圆具有完美的对称性（即轴对称、中心对称、根本上是旋转不变），从具有对称性的三角形、四边形等多边形出发来认识圆，将圆的重要性质（如垂径定理、圆周角定理、圆幂定理、托勒密定理等）归结到这些基础的直线图形中，进而打通知识之间的联系，形成良好的知识结构。由此得到教育上的启示：平面几何的课程不能过度删减；平面几何的考查不能过于复杂。
关键词：教育数学 圆 多边形 对称性 知识关联
在现行平面几何课程体系下，圆是其中唯一的曲线图形，形式优美，性质丰富，大大丰富了平面几何的内涵。但是同时，圆也是平面几何的难点之一。如何攻克这个难点，让圆的学习变得容易一些，是教育数学一直关注的问题。对此，化曲为直是最根本的思路。考虑到圆具有完美的对称性（即轴对称、中心对称，根本上是旋转不变），可以从具有对称性的三角形、四边形等多边形出发来认识圆，将圆的重要性质归结到这些基础的直线图形中，进而打通知识之间的联系，形成良好的知识结构。
一、垂径定理的认识
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。垂径定理体现了圆的轴对称性，我们可以联系等腰三角形来认识它。对于不是直径的弦，把圆心和两端点连接起来，就能得到一个等腰三角形。显然，等腰三角形“三线合一”的性质（把等腰三角形分成两个全等的直角三角形）很好地反映了垂径定理。
把一个圆n（n∈N*，n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形为这个圆的内接正n边形。由正三角形、正方形、正五边形……一直延续下去，就能得到圆。正多边形（一定有唯一的外接圆）体现了圆的旋转不变性，而我们也可以联系等腰三角形來认识它。正多边形的每条边都是圆的一条弦，因此正多边形是由多个等腰三角形组成的，正多边形的性质可以归结为等腰三角形的性质。
此外，直线与圆的位置关系是由直线到圆心的距离（即相应垂线段的长）d和圆的半径r的关系决定（描述）的（本质上是直线上到圆心距离最小的点与圆的位置关系）。垂径定理反映的其实是直线与圆相交的情况。基于此，直线与圆的位置关系可以用等腰三角形底边上的高h与圆的半径r的关系来理解（刻画）：如图1，若h
进而，圆与圆的位置关系是由两个圆心的距离d和两个圆的半径R、r的关系决定（描述）的（本质上是一个圆心与半径为两个圆
的半径和或差的圆的位置关系）。直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系可以对应起来：直线可以看成半径无穷大的圆（这一点在下面对托勒密定理的认识中有所体现），那么直线与圆相交就变成了圆与圆相交，直线与圆相切就变成了圆与圆内切或外切，直线与圆相离就变成了圆与圆内含或外离。类似的，圆与圆的位置关系可以用等腰三角形底边上的高h与两个圆的半径R、r（假设R≥r）的关系来理解（刻画）：
二、圆周角定理的认识
圆周角定理是指同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角相等，等于所对的圆心角的一半。圆周角定理体现了圆的中心对称（旋转不变）性，我们也可以联系等腰三角形来认识它。如图3，把扇形看作一个曲底等腰三角形，用类似于三角形全等的判定定理（SSS），很容易得出圆周角定理。这里其实强调了弧（曲）与弦（直）的对等性。
当圆周角的一条边由弦变成切线时，圆周角定理就变成了弦切角定理。因此，弦切角定理可以看作圆周角定理的推广，同样可以由等腰三角形的性质来推导。如图4，四边形OAPB是一个筝形，由两个等腰三角形拼接而成。由OP⊥AB，OA⊥PA，OB⊥PB，易得∠PAC=∠PBC=12∠AOB。
根据圆周角定理，还能得到四点共圆角度方面的刻画（性质与判定）：圆内接四边形对角互补；线段同侧对线段张角相等的两点与线段两端点共圆；等等。这里不再赘述。
三、圆幂定理的认识
圆幂定理的推导可以在计算思维的引导下进行：利用圆的半径的旋转不变性，构造等腰三角形（两个全等的直角三角形），巧妙地运用勾股定理（平方差公式）多次计算。
（一）相交弦定理
如图5，PA·PB=（MA-MP）·（MB+MP）=MA2-MP2=（OA2-OM2）-（OP2-OM2）=OA2-OP2；同理，PC·PD=OC2-OP2。因此，相交弦定理成立。
（二）切线长定理
根据图4，一方面，由弦切角定理不难得到切线长定理；另一方面，由直角三角形全等（或勾股定理）也不难得到切线长定理。
特别地，利用勾股定理推导切线长定理时，进一步作变形，可以得到切割线定理的特殊情况（割线为直径）。如图4，PA2=PO2-r2=（PO-r）（PO+r） =PD·PE。而且，这里还有PA2=PC·PO。
（三）切割线定理
如图6，PA2=OP2-r2=（OP2-OH2）-（r2-OH2）=PH2-FH2=（PH-FH）·（PH+FH）=PF·PG。这样，就得到了切割线定理。
由此可以充分理解圆幂定理中圆幂的定义：点P对半径为r的⊙O的幂a=OP2-r2，故圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
此外，点与圆的位置关系是由点到圆心的距离d和圆的半径r的关系决定（描述）的。圆幂定理实际上反映了点与圆的位置关系。
四、托勒密定理的认识
托勒密定理是指圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积，它是四点共圆长度方面的刻画（性质与判定）。托勒密定理充分体现了圆的旋转不变性，我们可以联系多种具有对称性的四边形来认识它。而且，托勒密定理是中学数学中很多结论的几何形式或一般形式，我们可以用它串联起这些内容，并认识这些内容的本质。
如图7，在线段AD上，顺次标有B、C两点，则由实数多项式乘法法则不难得出AB·CD+AD·BC=AC·BD。这反映出线段（直）和圆（曲）的对等性。
如图8，在复平面中的一个圆上，有A、B、C、D四点，分别对应复数a、b、c、d，则AB、CD、AD、BC、AC、BD分别对应复数a-b、c-d、a-d、b-c、a-c、b-d，由复数多项式乘法法则不难得出（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），也即AB·CD+AD·BC=AC·BD。可见，托勒密定理是多项式乘法法则的几何形式。
如图9，在⊙O中，取内接矩形ABCD，则由勾股定理可得AB·CD+AD·BC =AB2+BC2=AC2=AC·BD。可见，托勒密定理是勾股定理的一般形式。
如图10，在⊙O中，取內接等腰梯形ABCD，则由余弦定理可得AB·CD+
AD·BC=AB2+（BC-2ABcos∠ABC）·BC=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=AC2=AC·BD。可见，托勒密定理也是余弦定理的一般形式。
如图11，在⊙O中，取内接筝形ABCD，则由三角形面积公式可得AB·CD+ AD·BC=AB·BC+AD·CD=2S△ABC+2S△ADC=AC·BP+AC·DP=AC·BD。可见，面积法威力巨大。
值得一提的是，筝形还有内切圆，内切圆圆心是筝形对称轴和一组等角的两条平分线的交点；内切圆和筝形四条边的四个切点的连线是等腰梯形，和筝形两条对角线的四个交点的连线还是筝形，如图12。可见，筝形是刻画共圆性的好工具。
如图13，在⊙O中，取一条对角线过圆心（即为直径），即一组对角均为90°的内接四边形ABCD，则连接AO，交⊙O于H，连接CH，由两角和的正弦公式可得AB·CD+AD·BC=BDcos∠ABD·BDsin∠DBC+BD·sin∠ABD·BDcos∠DBC =BD2（cos∠ABD·sin∠DBC+sin∠ABDcos∠DBC）=BD2·sin∠ABC=AH·BDsin∠AHC=AC·BD。类似的，由两角差的正弦公式、两角和与差的余弦公式也可以得到托勒密定理。可见，托勒密定理是两角和与差的正弦、余弦公式的一般形式，能让平面几何走向解析化。而由两角和与差的正弦、余弦公式可以推出全部三角变换公式（比如，诱导公式只要令一个角为π2的整数倍；二倍角公式只要令两个角相等），即所有的三角问题都脱胎于托勒密定理。这充分体现了圆的旋转不变性。在平面几何问题解决（知识运用）中，常常需要通过旋转等变换技巧，把大角拆分成小角之和。
如图14，在⊙O中，取内接一般四边形ABCD，则过点D作AC的平行弦DF，连接CF，构造等腰梯形ACFD，连接AF、BF，由三角形面积公式可得AB·CD+ AD·BC=AB·AF+CF·BC=2S△ABFsin∠BAF+2S△BCFsin∠BCF=2S梯形ABCFsin∠BAF=2S梯形ABCDsin∠BAF=2S梯形ABCDsin∠BDF=2S梯形ABCDsin∠BEC= AC·BD。这实质上是利用具有轴对称性的等腰梯形，对圆内接四边形进行等面积变换。其实，面积法是平面几何的根本大法。
如图15，在⊙O中，取内接一般四边形ABCD，则在对角线AC 上取一点K，使得∠ABK=∠DBC，又有∠BAK=∠BDC，因此△ABK∽△DBC，则AKAB=DCDB，即AK·DB=AB·DC（记为①）；同时，可得∠CBK=∠DBA，又有∠BCK=∠BDA，因此△CBK∽△DBA，则CKCB=DADB，即CK·DB=CB·DA（记为②）。①②两式相加，得AK+CK·BD=AB·CD+AD·BC，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。这实质上是把圆内接四边形通过旋转、相似（缩小）变换到其对角线分割出的一个三角形中，从而表现出其有外接圆（四点共圆）的特征，因为三角形必有外接圆（三点共圆）。其实，这就是基于圆周角定理（即四点共圆角度方面的刻画）来证明托勒密定理（即四点共圆长度方面的刻画），也体现了圆的旋转不变性。
五、教育上的启示
从上面的数学内容分析中，我们至少可以得出两点教育上的启示：
（一）平面几何的课程不能过度删减
平面几何是培养直观想象素养极好的载体，舍此有无其他更好的途径，目前似乎尚未有定论。再激进的数学教育改革也
都没有让平面几何退出历史舞台，因此其教育价值不容置疑。学习数学，不能在脑海中形成一幅画面，则印象不够深刻，理解不够通透；直观想象能力不足，数学认知、解题、发现、创新能力也会大受制约。平面几何学得越多，数学越简单；学得越少，数学也就越难，因此其中的重要定理、公式不应被删减。而且，平面几何内容前前后后都有内在关联，不宜过度删减。比如，托勒密定理可以说是所有三角变换公式的源头，大肆删减平面几何对于三角函数的学习无异于釜底抽薪。总之，课程改革要把基本的、重要的知识还给学生，去枝强干、固本强基，培养学生的直观想象能力，促进其数学学习的可持续发展。
（二）平面几何的考查不能过于复杂
平面几何表面上是演绎推理，不需要计算，实际上需要的是一种“不算而算”的计算思维，在脑海中经历分解问题、理清属性、洞察联系、探寻规律、逐个击破、整合优化的“计算”过程，生成步步推敲、逻辑严谨的“计算”结果。因此，对于平面几何中的一些变换技巧，需要从三角法、解析法、向量法、复数法、面积法、质点法等多个角度加以分析，才能有清晰的认识。比如，三角函数理论来源于平面几何，但是，用几何方法定义三角函数，并用代数方法研究三角函数，可沟通几何与代数，从而不仅建立三角函数中各元素的种种关系，也为用三角函数方法解平面几何题提供程序化思路。比如，余弦定理给出了三角形边与角的关系，常用来证明线段的相等或和、差、倍、分关系以及直线的平行或垂直；正弦定理揭示了三角形内角的正弦与对边的比例关系，还表示圆的弦与其所对的圆周角与直径之间的关系，很多时候将其与三角形面积公式联用，可达到简化思路的效果。这正如方程之于算术应用题的意义一样，有了方程之后，算术应用题就变得程序化了，不再是难题了。而如果一定要用平面几何方法解平面几何题，那么就需要运用计算思维把这些解析方法用平面几何的语言表达出来。因而，平面几何的习题不能编制得过于复杂，加重学生的负担。而教育数学“重建三角”，并以之重构平面几何的教育价值就在于此。
参考文献：
[1] 张景中.一线串通的初等数学（第二版）[M].北京：科学出版社，2016.
[2] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
