以不变应万变
2008-06-14侯国兴
侯国兴
我们知道,任意多边形的外角和等于360°.在求解涉及多边形的角的问题时,若能把多边形的“内角”问题转化为“外角”问题来处理,则往往可以收到化繁为简、化难为易之效果.
一、求多边形的边数
例1已知n边形的每一个内角都等于162°,求该多边形的边数.
解:因为n边形的每一个内角都等于162°,所以该n边形的每一个外角都等于180°-162°=18°.
因为任意多边形的外角和都等于360°,所以该多边形的边数n==20.
二、求多边形的周长
例2小敏在课外活动期间制作了一个简单的机器人.小敏遥控它每前行2 m就向右转30°,该机器人需要走多少路程才能回到原地?
解:根据题意可知,该机器人所走过的路径是一个外角为30°的正n边形.
由多边形的外角和性质得30°·n=360°,解得n=12.
所以该机器人回到原地需要走的总路程为:2×12=24(m).
三、求多边形的内角度数
例3各内角都相等的十五边形的每一个内角的度数等于.
解:因为该十五边形各内角都相等,所以它的各外角也相等.
又因为多边形的外角和等于360°,所以,该十五边形的每个外角为:=24°.
所以,该十五边形的每一个内角的度数为:180°-24°=156°.
四、求多边形的内角和
例4已知一个多边形的每一个外角都等于36°,则这个多边形的内角和为.
解:因为多边形的外角和等于360°,所以,该多边形的边数为:=10.
所以该多边形的内角和为:(10-2)×180°=1 440°.
五、判断多边形中锐角的个数
例5在一个多边形中,它的内角最多可以有几个是锐角?
解:因为多边形的外角和为360°,所以多边形的外角中最多有3个钝角.
所以多边形的内角中最多有3个锐角.
六、判断多边形中小于某一指定角的个数
例6在凸多边形中,小于108°的内角最多有( ).
A.3个B.4个 C.5个D.6个
解:因为多边形的外角和为360°,所以多边形中大于72°的外角不能多于4个.
所以多边形中小于108°的内角最多有4个.故选B.
七、求最值
例7在一个凸多边形的内角中有且只有3个钝角,则这个多边形的边数的最大值是,最小值是.
解:因为凸多边形的内角中有且只有3个钝角,所以多边形的外角中有且只有3个锐角.
又由例5知多边形的外角中最多有3个钝角,所以该多边形最多有6个外角.
由于凸多形边的内角中“有且只有3个钝角”,所以这个多边形不能是三角形,只有四边形、五边形、六边形的内角中才能有3个钝角.
因此,满足条件的最大值是6,最小值是4.
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