化繁为简，巧用直线的参数方程

程璐

摘 要：本文主要从四个方面，举例说明如何使用直线的参数方程，求弦长，解决中点问题，求轨迹方程，证明相关等式，通过直线的参数方程可以化繁为简，有效提高做题效率。

在平面几何里，一些关于焦点弦长、某点的坐标、轨迹方程、等式证明等类型的题目，我们可以考虑运用直线的参数方程去分析解决。它的优点在于，能化繁为简、减少计算过程，从而明显提高做题效率。

首先，直线的参数方程的标准式：过点 倾斜角为 的直线 参数方程为 （t为参数， 为直线的倾斜角）

t的几何意义是：t表示有向线段 的数量， 为直线上任意一点。

一、用直线的参数方程求弦长相关问题

如果知道过某点的某一直线与一个圆锥曲线相交，要求出直线被截的弦长。我们可把这一直线的参数方程代入圆锥曲线的方程里，然后利用韦达定理和参数t的几何意义得出弦长。

例1过点 有一条倾斜角为 的直线与圆 相交，求直线被圆截得的弦长。

分析：1、考虑点P在不在圆上；2本题用一般方法解要写出直线方程，然后代入圆方程，要想求出弦长过程比较复杂、 计算量大；3、适合运用直线的参数方程进行求解。解：把点 代入圆的方程，得 所以点P不在圆上，在圆内可设直线与圆的交点分别为A、B两点由题意得直线的参数方程为 ，（t为参数）代入圆的方程，得 整理后得 ①因为Δ= 设①的两根为 ，即对应交点A、B的参数值，由韦达定理得 ； 由t的几何意义，得弦长

评注： 此类求弦长的问题，若运用直线的参数方程参数方程去解，根据参数t的几何意义和韦达定理就能比较简捷的求出弦长。

小结：我们在运用直线的参数方程解决求弦长问题时，发现在解决例1

此类题型时有一定的规律，这个规律在解决此类问题时可以当 公式来用，对解题速度很有帮助的。下面我对这个规律进行阐述：方法总结：求二次曲线 ①截直线 ② （t是参数， 为直线的倾斜角） 所得的弦的长。

解：由①和②消去 整理后，若能得到t的二元一次方程：

③

则当有Δ= ，截得的弦长为 （公式一）

证明：设 为③的两个实根，根据韦达定理有 ④

又设直线与二次曲线的两个交点为 ，则

， ⑤

根据两点的距离公式，由④，⑤得弦长

（证毕）

上述公式适用于已知直线的倾斜角，那如果已知直线的斜率呢？

例2若抛物线 截直线 所得的弦长是 ，求 的值。

解：由直线的方程 ，得直线的斜率k= =2，且直线恒过点

∴该直线的参数方程为 ，（t为参数）

把参数方程代入抛物线方程，整理后得

因为t是实数，所以Δ=

由公式二，有 解得

评注：我们通过运用直线的参数方程得到了公式一和公式二，在解决关于弦长問题时运用公式一或者公式二解题就会更加方便。如果题目已知的是直线的倾斜角，就应该考虑用公式一；如果题目已知的是直线的斜率，就应该先考虑用公式二。

运用直线的参数方程解中点问题

例3已知过点 ，斜率为 的直线和抛物线 相交于A，B两点，若AB的中点为M，求点M坐标。

解：设过点 的倾斜角为 ，则 ，则 ，

可设直线的参数方程为 （t为参数）把参数方程代入抛物线方程 中，整理后得 ，设 为方程的两个实根，即为A，B两点的对应参数，根据韦达定理 ，由M为线段AB的中点，根据的几何意义可得

所以M所对应的参数为 ，将此值代入直线的参数方程里，得M的坐标 即

评注：在直线的参数方程中，当 时，则 的方向向上；当 时，则 的方向向下，所以AB中点M对应的参数t的值是 ，这与求两点之间的中点坐标有点相似。

三、运用直线的参数方程求轨迹方程

运用直线的参数方程，我们根据参数t的几何意义得出某些线段的数量关系，然后建立相关等式，最后可得出某动点的轨迹。

例4 过原点的一条直线，交圆 于点 ，在直线 上取一点 ，使 到直线 的距离等于 ，求当这条直线绕原点旋转时点 的轨迹。

解：设该直线的方程为

，t为参数， 为直线的倾斜角

把直线方程代入圆方程，得

即 根据公式一，可得 ，

可设 点坐标为 ，其对应的参数值为t，则有 ，因为 ，所以 易知，点 到直线 的距离是 ，即 由题意有 = 等式两边同时平方，化简后得 解得 或

当 时，轨迹的一支为 ；当 时， ，从而得另一支轨迹 即 ；

因此所求轨迹系是由圆 和直线 组成。

评注：遇到此类题目，考虑运用直线的参数方程先把弦长求出来， 在根据题意建立相关等式，根据等式消元化简得出结果，本题的关键主要是建立等式 = 。

四、运用直线的参数方程证明相关等式

运用直线的参数方程，由参数t的几何意义，可以得到一些数量关系，对证明一些几何等式很有帮助。

例5设过点 的直线交抛物线 于B、C，求证：

证明：设过点 的直线的参数方程为 （t为参数， 为直线的倾斜角）

因为直线与抛物线交B、C两点，故 。把直线参数方程代入抛物线方程，整理后得

设 为两根，即点B、C的对应参数值，根据韦达定理得

； 根据参数t的几何意义有AB= ，AC= ，所以

评注：在证明一些相关等式问题时，引用直线的参数方程辅助证明，会让证明思路更加清晰易懂，在证明过程中根据参数t的几何意义，用参数t去替换其它变量，把所要证的等式化繁为简。

总之，我们运用直线的参数方程对以上例题进行了解答，在解题过程中，我们能体会到直线参数方程的魅力所在，它使我们在解决很多问题时可以化繁为简、容易理解。从中，我们还发现直线参数方程的参数t和韦达定理的和谐统一，这会让我们感受到数学的简洁美，并为我们的解题带来了无穷的想象空间和更为广阔的解题思路。

参考文献

[1]彭耿铃.巧用直线的参数方程解题例说[J].福建中学数学，2009，（8）.

[2]刘培杰.新编中学数学解题方法全书[M]，高中版.哈尔滨 ：哈尔滨工业大学出版社，2011.

[3]吴业分、肖利华.浅谈直线参数方程及应用[J].中国教科创新导刊，2009，（537）.