浅谈初中二次函数的教学

黄认先

【摘要】 二次函数是初中数学的一个重要知识点，它与一元二次方程、一元二次不等式、方程组以及几何知识都有必然的联系。同时，也为学生进入高中进一步学习函数打下基础。本文仅就二次函数的教学目标、教材内容的总体认识、教学中培养学生的数学能力谈一些看法。

【关键词】 掌握 认识 归纳 渗透 发掘 化解

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）07-124-02

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二次函数是初中数学的重要内容之一，它不仅是一个重要的数学概念，也体现了一种重要的数学思想方法。二次函数是中考的必考点，考题的难易跨度较大，基础题、能力题、拓展题三种层次的题目都有可能出现。初中学生从学习数、式、方程等研究常量的计算问题，到学习函数研究变量的变化规律，是认识上的一次重大飞跃。学习函数，可以帮助学生深化对代数式的认识，沟通方程、不等式、函数之间的联系，完成相应的知识结构。同时，二次函数一章的学习也是初中代数与高中代数之间在内容与思想方法上的衔接与过渡。不少学生在学习这部分知识时，缺乏从整体上认识二次函数与图象以及性质的统一性，因而解题上存在着盲目性，缺乏简洁性和灵活性，运用二次函数解决实际问题的能力明显不足。根据多年的教学实践，本人认为出现这些问题的症结。从教师这方面来说主要有三个原因：一是教师的“教”与学生的“学”或多或少存在“两张皮”现象，没有有机地统一起来；二是教学中数与形的“两张皮”现象，未能做到数形结合和归纳总结进行教学；三是教学过程没有充分体现出以学生发展为本，缺乏对学生数学能力的培养。本文仅就二次函数的教学目标、教材内容的总体认识、教学中培养学生的数学解题能力谈一些看法。

一、掌握教学目标与指导思想

二次函数的教学目标是：通过学生积极参与，在探求、认知的全过程中理解和掌握二次函数的图象和性质，初步学会应用，培养自主学习的能力，掌握基本的数学方法，增强创新意识，发展积极的情感态度和价值观。为实现这一目标，必须贯彻新的课程理念，在教学课程的结构、内容的取舍、课堂教学的设计与组织等方面，处处以学生发展为本。树立课程是为学生提供学习经历并获得学习经验的观念，确立学生在学习中的主体地位。遵循学生认知心理发展的规律，组织合理的知识结构，展现知识的生成、发展和形成的过程；设计出科学的课堂教学环节，提供学生亲身感受、体验和实践的机会，激发学生学习的兴趣和主动性，发挥学生的创新精神；通过学习情景的创设，实践环节的开发和学习渠道、手段的拓寬，实现知识的传承、技能的掌握；能力的发展、方法的运用；情感态度和价值观的形成。

二、从生活实例中认识二次函数的概念

二次函数的概念的教学，教材中安排了“正方体的表面积与棱长”、“比赛的场次数与球队数”以及“产量与计划增长倍数”等三个实例引入二次函数的概念.这一节的课堂设计和教学组织应做好三个环节，达到两个目标：一是引导学生通过思考、合作讨论与交流，自己找到三个实例的函数关系式——即建立数学模型：（1）y=6x2（2）y=0.5x2-0.5x（3）y=-100x2+100x+200；二是通过观察、比较、抽象，学生发现三个函数解析式的共同点——函数都是用自变量的二次式表示的，从而理解二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的概念。三是引导学生从三个实例中，自变量的变化以及函数相对应的变化情况，来理解函数定义域的意义并求出各函数的定义域。通过以上三个环节的教学过程，使学生理解了二次函数的概念，并能认识到实际生活中二次函数的例子随处可见，从而激发浓厚的学习兴趣。

三、类比、数形结合和归纳掌握二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质是本章的教学重点和难点.许多学生在学习中存在的主要问题是不能把二次函数与二次函数的图象统一起来，只会机械地、孤立地认识二次函数图象和性质，没有从整体上完整地把握其性质；对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的系数a、b、c在决定二次函数的性质和图象的形状与位置等方面的意义和作用，缺乏深刻、完整的认识，即数与形“两张皮”。本人在教学过程中，运用类比、数形结合和归纳掌握二次函数的图象和性质：例如，在讨论二次函数y=x2时，可以类比一次函数研究二次函数。又如，对于二次函数y=ax2是分a>0和a<0两种情况讨论，先讨论a>0的情况就可以类比a<0的情况进行讨论。再如，讨论二次函数y=2x2-6x+21的图象和性质，再让学生运用类比的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质。

数形结合地研究函数贯穿二次函数讨论。对于简单二次函数y=x2的研究就是从画函数的图象开始，然后从图象了解它的性质。其后对二次函数的研究，也展现了从解析式到图象，从图象到性质的过程，从特殊例子归纳一般结论。例如，让学生观察二次函数y=2x2、y=3x2的图象与函数y=x2的图象的共同点与不同点，归纳函数y=ax2（a>0）的图象特点；探究函数y=-2x2、y=-3x2的图象与函数y=-x2的图象的共同点与不同点，归纳函数y=-ax2（a<0）的图象特点；又如抛物线y=2（x+1）2+3与抛物线y=2x2的关系，从而归纳出把抛物线y=ax2向上（下）、向左（右）平移得到抛物线y=a（x-h）2+k的结论。

由y=ax2→y=ax2+k→y=a（x-h）2→y=a（x-h）2+k→y=ax2+bx+c的处理方法，从特殊到一般，由易到难，符合学生的认知规律.在课堂教学中，要始终贯穿类比、数形结合和归纳掌握二次函数的图象和性质，要使学生真正认识到图象是函数的一种表达形式，就如同解析式、列表是函数的表达形式一样。

四、在教学中培养学生的解题能力

近年来的中考试题中，二次函数的考查力度也逐渐加大，其数量与分值明显增加，设计内容广泛，具有一定的难度和深度，其题型也是多种多样，同时，此类以二次函数为背景的问题，综合性强，题型多，并藉此考查学生的数学解题能力。

（一）渗透思想方法，着眼规律教学

二次函数一章比较多地运用了待定系数法和数形结合等数学思想方法，选择恰当的例题，渗透“方法”的教学，帮助学生运用数学思想方法审题，寻求解题规律，有利于数学解题能力的培养和提高。

例1，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）。

（1）求直线与抛物线所表示的函数解析式

（2）如果抛物线上有一点D，使得S△OAD=S△OBC，求D点的坐标。

解（1）由直线过点A（2，0）、B（1，1），得直线方程为y=-x+2.又由抛物线y=ax2过点B，得a=1，即抛物线为y=x2.

（2）由点C是直线与抛物线交点，易得C点坐标为（-2，4）.以设代求，设点D的坐标为（x，x2）.则

S△OAD=x2，S△OBC=S△OAC-S△OAB=3.易得D点的坐标

（二）发掘内在联系，形成知识结构

例2已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标； （3）当■

分析：（1）根据题意得出△=（1-2m）2-4m（1-3m）=（1-4m）2>0，得出1-4m≠0，解不等式即可；

（2）y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；

（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=|■-4|，由已知條件得出■≤■<4，得出0<|■-4|≤■，因此|AB|最大时，|■-4|=■，解方程得出m=8，或m=■（舍去），即可得出结果。

用二次函数连贯一元二次方程和不等式的知识，可帮助学生深化对方程及不等式的理解，使分散的知识系统化，形成完整的知识结构。另一方面，运用函数思想处理方程和不等式问题，以及运用方程和不等式知识对运动变化过程中的函数局部问题作静态处理的思想方法，为后续解析几何学习又能起到打基础的作用。

（三）综合运用知识，化解压轴题

由于综合题涉及的知识点多、数学方法多、数学思想多。这就要求学生准确迅速地对综合题提供的信息进行梳理、提炼，运用所掌握的数学知识对综合题进行分解、组合。

例3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C

（1）求抛物线y=-x2+

ax+b的解析式；

（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值。

分析：（1）将点A、B代入抛物线y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；

（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；

（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=■可得结果。

二次函数综合题的分解与组合是一个难题，分解综合题实质上就是不断把原问题化解为若干个小问题。实质上也是数学的转化思想。教学中教师要注重对学生这方面能力的培养。

总而言之，二次函数是初中数学的一个重要知识点，这是中考的必考重要考点。还是初中代数与高中代数之间在内容与思想方法上的衔接与过渡，教师在教学过程中着重培养学生的数学解题能力。

[ 参 考 文 献 ]

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[2]吴坤雄.2011年中考考点复习策略（13）——“函数的考法分析”[J].数学学习，2011（03）.

[3]杨红葆.二次函数y=ax2的图像与性质的评课案例[J].新课程学习（中），2011（07）.