关于Morita等价的几个注记

王 磊 ，刘 洋 ，许庆兵

（1.滁州职业技术学院基础部，安徽滁州239000；2.滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239000）

1 预备知识

环常通过它们的模来研究，因为模可以看作是环的表示。每个环R都有一个自然的模结构，其模乘定义为环中的乘法，所以通过模的方法更具有一般性。因此，人们经常通过某个环上的模范畴来研究环。Morita等价就是这一观点的一个自然结论。

设 M 是左 R-右 S-双模RMS，对任意 r∈R，定义 λ（r）（x）=rx，则 λ∶R→End（MS）是环同态。对任意s∈S，定义 ρ（s）（x）=xs，则 ρ∶S→End（RM）是环同态。若 λ 或 ρ是单射，则称RM（或 MS）是忠实的；若 λ 和ρ是满射，则称RMS是平衡双模；若λ和ρ是双射，则称RMS是忠实平衡双模。若RMS是忠实（平衡）双模，则RM和MS均为忠实（平衡）的。若RMS是忠实平衡双模，则RM是生成子当且仅当MS是有限生成投射模。

设R与S均为环，若Mod-R≈Mod-S，则称R与S是Morita等价，记为R≈S。设F：Mod-R≈Mod-S，G：Mod-S≈Mod-R，η：GF→1Mod-R，ξ：FG→1Mod-S，则有交换图，如图 1 所示。

图1 等价交换图

对任意RM、SN，存在Z-模同态

当RM≈MS时，φ 与 θ是自然同构，且（G，F）和（F，G）是伴随对。

本文的环均为有单位元的结合环，Morita等价的详细介绍参见文献［1-4］，最新研究进展参见文献［5-6］。

2 Morita不变量

引理1（Eilenberg-Watts） 对函子F：Mod-R→Mod-S，以下条件等价：

（1）F有右伴随函子G；

（2）F右正合且保持直和（直积）；

（3）对R-S-双模P，F≅-⊗RP，G≅HomS（P，-）。

证明（3）⇒（1）：令G≅HomS（P，-）。

（1）⇒（2）：因为F是G的左伴随函子，所以F右正合且保持直和。

（2）⇒（3）：令P=F（S），因F是函子，有EndR（R）→EndS（F（R））=EndS（P），因而，对任意r∈R，由r左乘可得R-自同态λr，因而可诱导F（R）=P的S-自同态F（λr），对r∈R，p∈P，定义rp：=F（λr）（p），则P是R-S-双模。

对M∈Mod-R，M≅HomR（R，M）→HomS（F（R），F（M））≅HomS（P，F（M）），由此得fM：M→HomS（P，F（M））。事实上fM是R-模同态。由张量与Hom函子伴随性HomR（M，HomS（P，F（M）））≅HomS（M⊗RP，F（M）），fM诱导 S-模同态 gM：M⊗RP→F（M）。

因为所有这些结构都是自然的，所以有自然变换g：-⊗RP→F，因gR同构且R是Mod-R的生成子，所以g是自然同构。

引理2 设R，S是有直积的abel范畴。令F，G：R→S是保直积的正合函子，F→G是一自然变换。若F（P）≅G（P），其中 P 是R 的生成子，则 F≅G。

证明 记P(I)表示直积，令M∈R，则M又可分解为：P(I)→P(J)→M→0。在F与G作用下有下面行为正合的交换图，如图2所示。在竖直方向，左边与中间的态射是同构，则最右边也是同构。

图2 正合交换图

定理 1 设 F：Mod-R→Mod-S 是范畴等价，M，M′，M′∈Mod-R，则：

（1）0→M′→M→M′→0在Mod-R中正合⇔0→F（M′）→F（M）→F（M′′）→0在Mod-R中正合；

（2）⊕α∈AMα=（M，（Pα）α∈A）⇔⊕α∈AF（Mα）=（F（M），（F（Pα））α∈A）；

（3）U 是 M-投射（M-内射）模⇔F（U）是 F（M）-投射（F（M）-内射）模；

（4）U是投射（内射）模⇔F（U）是投射（内射）模；

（5）U是生成（余生成）M⇔F（U）是生成（余生成）F（M）；

（6）U是生成（余生成）子⇔F（U）是生成（余生成）子；

（7）单同态（满同态）f：M→M′是本质（多余）的⇔F（f）：F（M）→F（M′）是本质（多余）的；

（8）f：M→M′是内射包（投射盖）⇔F（f）：F（M）→F（M′）是内射包（投射盖）；

（9）M是有限生成（有限余生成）⇔F（M）有限生成（有限余生成）。

证明 （1）（2）证明参见文献［3］。

（3）⇒，设f：f（M）→f（M′）是满同态，则θ（f）满同态。设g：F（U）→N，则由U的投射性有交换图，如图3所示。即θ（f）h=θ（g）。所以g=θ-1（θ（f）h）=fF（h），故F（U）是F（M）-投射模。

图3 U投射交换图

⇐设f：M→G（N）是满同态，g：U→G（N），则θ-1（f）：F（M）→N是满同态，由F（U）的投射性有交换图，如图4所示。即存在h，使得θ-1（f）h=θ-1（g）。故g=θ（θ-1（g））=θ（θ-1（f）h）=fθ（h），即存在θ（h）：U→M，使得g=fθ（h），故 U 是 M-投射。

图 4 F（U）投射交换图

（4）由（3）直接可得。

（5）U 是生成 M，所以有 U(A)→M→0，由（2）有（FU）(A)→F（M）→0。

（6）由（5）可得。

（7）⇒欲证 F（f）：F（M）→F（M′）本质，即证对任意同态 g：F（M′）→N，若 gF（f）单，要有 g 单。而当gF（f）单时，φ（gF（f））=φ（g）f单，若 f本质，则 φ（g）单，有 g 单，故 F（f）本质。

⇐要证 f：M→M′本质，即证对任意同态 g：F（M′）→N，若 G（g）f单，要有 G（g）单。而当 G（g）f单时，由于θ-1（G（g）f）=GF（f）单，而F（f）本质，故g单，所以G（g）单，因而f本质。

（8）由（4）（7）可得。M′内射就有 F（M′）内射。f本质就有 F（f）本质，故 F（f）为内射包。

（9）由（5）（2）可得。

3 Morita等价的刻划

定义1 若RP是有限生成投射生成子，则称RP是预生成子（progenerator）。

例如RP 是预生成子,当且仅当存在 m＞0，n＞0，使得 R(m)≅P⊕P ′，且 R(n)≅R⊕R ′。

定理 2 设 R≈S，F：Mod-R→Mod-S，G：Mod-S→Mod-R 是互逆等价函子。令 P=F（R），Q=G（S），则有：

（1）存在双模SPR，RQS同构：P⊗RQ≅S，Q⊗RP≅R，其逆也成立；

（2）SPR，RQS忠实平衡；

（3）SP，PR，RQ，QS均为预生成子；

（4）SPR≅HomS（Q，S）≅HomR（Q，R），RQS≅HomS（P，S）≅HomR（P，R）；

（5）F=HomR（Q，-）≅（P⊗R-），G=HomS（P，-）≅（Q⊗S-）。

证明（1）依题意知（F，G）是伴随对，由引理1可得F≅-⊗RQ，G≅HomS（Q，-）。类似的，（G，F）也是伴随对，也有 G≅-⊗SP，F≅HomR（P，-）。因为 F与 G 拟逆函子，所以有自然同构：1≅GF≅-⊗R（Q⊗SP），1≅FG≅-⊗S（P⊗RQ），因此有P⊗RQ≅S，Q⊗RP≅R。

反之，假设有双模同构P⊗RQ≅S，Q⊗RP≅R，令F≅-⊗RQ，G≅-⊗SP，则有FG≅-⊗S（P⊗RQ）≅-⊗SS≅1。同理GF=1。因而F与G可逆。所以Mod-R≅Mod-S。

（2）由附加结构知 RR可诱导双模SF（P）R，即SPR，SSS可诱导双模RG（S）S，即RQS。由于 R≅End（RR），而 End（RR）≅End（SF（R）），所以 R≅End（SF（R））≅End（SP）。由于SP=F（RR）且RR 是预生成子，故SP 是预生成子。由预备知识知PR忠实平衡，所以SPR忠实平衡。同理可证RQS忠实平衡，RQ，QS均为预生成子，所以（2）（3）得证。

所以（4）得证。

设M∈Mod-R，HomS（S，F（M））≅HomR（G（S），M）=HomR（Q，M），而HomS（S，F（M））≅F（M），所以F（M）≅HomR（Q，M），由张量函子与Hom的伴随性可得F=HomR（Q，-）≅（P⊗R-）。同理可证G=HomS（P，-）≅（Q⊗S-）。所以（5）得证。

推论1 设R与S为环，F：Mod-R→Mod-S，G：Mod-S→Mod-R为加法函子，则F和G互逆等价⇔存在双模SPR使得：

（1）SP，PR为预生成子；

（2）SPR平衡双模；

（3）F≅（P⊗R-），G=HomS（P，-），且若有双模SPR满足上述条件，则Q≅HomR（P，R）是RQS双模，其中RQ，QS均为预生成子，F=HomR（Q，-），G=HomS（P，-）。