如何解决向量间的点乘问题

冷小平

摘 要：作为现代数学的重要内容之一，向量是近代数学最基本概念之一，它集数与形于一身，沟通了几何、代数和三角，是数形结合思想，为解决立体几何提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化。在本论文的研究过程中，通过向量的数量积或建立直角坐标系建立坐标两种方法，把繁杂的代数问题转化为简单空间几何问题，最后转化为代数问题，通过对这两种方法的应用，旨在提高学生对于向量间乘积之间的运算的处理。

关键词：向量；点乘；数量积；直角坐标

一、向量的有关知识

向量的概念：向量是既有大小又有方向的量，一般用[a]來表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：[AB]，向量的大小即向量的模（长度），记作[a]。

零向量：长度为0的向量，记为[0]，其方向是任意的，且与任意向量平行（注意与0的区别）。

单位向量：模为1个单位长度的向量。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为[a=b]。

相反向量：与[a]长度相等、方向相反的向量，叫做[a]的相反向量。记作[-a]，特别的零向量的相反向量仍是零向量。

向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设[AB]=[a]，[BC]=[b]，[AB+BC=a+b=AC]，按照“三角形法则”与“平行四边形法则”进行向量加法。同时向量加法满足交换律与结合律。

说明：用向量法解决立体几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算，二是用向量的坐标运算，即利用题目条件，建立直角坐标系。一般来说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法。若所给图形不容易建立空间直角坐标系，我们也可以用向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高，对学生逻辑推理能力的要求也提高了。

参考文献

[1]李建群.谈向量方法在有关直线中的应用[J].高中数学教与学，2004（5）：16-17.

[2]李成宽.平面向量在直线问题中应用[J].数学通讯，2009：14-15.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.