贝叶斯决策方法综述

肖福龙

【中图分类号】TN301.6

【文献标识码】A

【文章编号】2236-1879（2018）13-0199-01

一、决策问题

决策就是对一件事情要做出决定，它与推断的差别在于是否涉及后果。统计学家在作推断时是按统计理论进行的，很少或根本不考虑推断结论在使用后的损失，而决策者在使用推断结果做决策时必须与得失联系在一起考虑。能给他带来利润的他就使用，使他遭受损失的就不会被采用，度量得失的尺度就是损失函数。著名统计学家A.Wald（1902-1950）在20世纪40年代引入了损失函数的概念，指的是由于决策失误导致的损失值。损失函数与决策环境密切相关，因此从实际问题中归纳出合适的损失函数是决策成败关键。把损失函数加入贝叶斯推断就形成贝叶斯决策论，而损失函数被称为贝叶斯统计中的第四种信息。

决策分析是一般分四个步骤：1）形成决策问题，包括提出方案和确定目标;2）判断自然状态及其概率;3）拟定多个可行方案;4）评价方案并做出选择。常用的决策分析技术有：确定型情况下的决策分析、风险型情况下的决策分析及不确定型情况下的决策分析。

（1）确定型情况下的决策分析。确定型决策问题的主要特征有四方面：一是只有一个状态，二是有决策者希望达到的一个明确的目标，三是存在着可供决策者选择的两个或两个以上的方案，四是不同方案在该状态下的收益值是清楚的。确定型决策分析技术包括用微分法求极大值和数学规划等方法。

（2）风险型情况下的决策分析。这类决策问题与确定型决策只在第一点特征上有所区别，即在风险型决策问题中，未来可能的状态不只一种，究竟出现哪种状态不能事先肯定，只知道各种状态出现的可能性大小（如概率、频率、比例或权等）。常用的风险型决策分析技术有期望值法和决策树法。期望值法是根据各可行方案在各自然状态下收益值的概率平均值的大小，决定各方案的取舍。决策树法有利于决策人员使决策问题形象化，把各种可以更换的方案、可能出现的状态、可能性大小及产生的后果等，简单地绘制在一张图上，以便计算、研究与分析，同时还可以随时补充。

（3）不确定型情况下的决策分析。如果不只有一个状态，各状态出现的可能性大小又不确定，便称为不确定型决策问题。常用的决策分析方法有：

a）乐观准则。比较乐观的决策者愿意争取一切机会获得最好结果。决策步骤是从每个方案中选一个最大收益值，再从这些最大收益值中选一个最大值，该最大值对应的方案便是入选方案。

b）悲观准则。比较悲观的决策者总是小心谨慎，从最坏结果着想。决策步骤是先从各方案中选一个最小收益值，再从这些最小收益值中选出一个最大收益值，其对应方案便是最优方案。这是在各种最不利的情况下找出一个最有利的方案.

c）等可能性准则。决策者对于状态信息毫无所知，所以对它们一视同仁，即认为它们出现的可能性大小相等。于是这样就可按风险型情况下的方法進行决策。

二、贝叶斯决策

风险型决策方法是通过预测各种状态可能发生的先验概率，采用期望值标准或最大可能性标准来选择最佳决策方案。这样决策具有一定的风险，因为先验概率是根据历史经验或者主观判断得到的，没有经过实验验证。为了减少这种风险，需要准确掌握并且估计这些先验概率。得到较准确信息的方法有科学的实验、调查、统计分析等，利用得到的信息修正先验概率，并据此确定各个方案的期望损益值，拟定出可供选择的决策方案，这种方法就是贝叶斯决策方法。

一个完整的贝叶斯决策过程包括数据分析、概率模型的构造、先验信息和效应函数的假设及最后的决策。

贝叶斯决策的基本方法是将关于未知参数的先验信息与样本信息综合，根据贝叶斯定理，得出后验信息，再利用后验信息去推断未知参数。完整的贝叶斯决策过程有以下步骤：

（1）进行预后验分析。由于先验概率是根据经验或者历史资料得到的，缺乏一定的时效性。预后验分析则是再搜集和分析追加信息的分析过程。通过预后验分析来决定是否值得搜集补充资料以及从这些资料中可能得到的结果和如何决定最优决策。

（2）搜集补充资料，取得条件概率包含历史概率和逻辑概率，对历史概率加以检验，辨明其是否适合计算后验概率。

（3）计算后验概率。用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计算边际概率，最后用贝叶斯定理计算后验概率。

（4）用得到的后验概率进行决策分析。

实际运用中，会遇到包含多个阶段的信息搜集和数值计算的过程，即包含一系列的先验分析和预后验分析、采集新的信息、做出后验分析和决策，这个过程称为序贯分析。

三、贝叶斯决策在实际中的应用

前文中首先对贝叶斯思想的起源和发展做了比较详细的介绍，又阐述了贝叶斯理论和方法。迄今为止，该理论已经广泛应用于诸多领域，并且逐步发展成为诸多的交叉学科，涵盖生物医学、经济金融、商业决断、工程学、法律、语言学以及心理学等学科与行业。甚至可以说，现在已经很难找到一个领域不存在某种水平的贝叶斯工具了。

在统计学领域内，贝叶斯理论及方法已经渗透到诸多的方面，包括生物统计、神经网络、决策分析与决策论、试验设计、经验贝叶斯、信息论、缺失数据、非参数统计和函数估计、序贯分析等等。

四、贝叶斯决策的优点及其局限性

（一）贝叶斯决策的优点。

贝叶斯决策的优点体现在以下几个方面：

（1）提供了一个进一步研究的科学方法。即它能对信息的价值或是否需要采集新的信息作出科学的判断。

（2）它能对调查结果加以数量化的评价，而不是像一般的决策方法那样对调查结果完全相信或者完全不相信。

（二）贝叶斯决策的局限性。

贝叶斯决策方法也有其局限性：

（1）它所需要的数据多，分析计算比较复杂。

（2）有些数据必须使用主观概率，置信度不高，妨碍了贝叶斯决策方法的推广使用。

五、贝叶斯方法应用展望

贝叶斯方法在经济学、管理学、情报学、心理学以及哲学等学科领域都有其重要的应用。与贝叶斯有关的方法、推理、预测、决策，以及在企业、金融、银行、市场等领域的应用都是是贝叶斯理论研究的重点关注领域。Gibbs抽样和MCMC模拟成为目前贝叶斯领域的主流方法和研究热点。用贝叶斯方法进行估计、推理、预测及网络分析，博弈、决策和分类等分析问题提供了新的研究视角。贝叶斯方法对企业风险、金融、管理方面的推理、预测等实证分析研究，以及模型参数的分布是我国现阶段贝叶斯领域的研究热点。应该说，中国贝叶斯理论及应用研究的空间依然很广阔。