刍议立体几何中的函数方程思想的应用

谭斯能

【摘 要】函数方程思想作为贯穿高中数学的主线，其应用范围非常广，不仅能够解决代数问题，也应用于立体几何问题。本文结合实例对立体几何中运用到的函数方程思想进行分析讨论。

【关键词】立体几何；函数方程思想；应用

函数描述的是在客观世界的某个过程中，量和量之间相互依赖、制约的关系。其思想的实质则是将研究对象与数学无关的特性抛开，运用变化与联系的观点来建立各变量之间的函数关系。方程思想与此思想方法有着很大的联系，在运用方程思想解决问题的时候，是把所求的量设为未知数，并用它来表示其他的量，再依据题目中的等量关系列出方程，从而求得最终的答案。根据日常的解题经验可以得出，函数方程的思想能够运用于很多问题类型，比如立体几何中的空间距离、空间角的范围问题等。

1、计数与映射

函数，究其本质也是一种特殊的映射。在一些与空间计数相关的问题上，如果运用一般的思想和方法求解，则会由于混淆计数对象导致计数遗漏或者计数重复，有时甚至会出现无法求解的状况。这是因为这些空间计数问题本身就含有某种映射，求解问题时需要设计特殊的映射来进行等价的交换，才能将问题化难为易，顺利解决。

例1 空间中有n（n≥4）个点，其中任意四点不共面，现过两点连一条直线，问空间中存在多少对的异面直线？

[分析] 因为题目中所给的计数对象很容易被混淆，导致计数困难。换个角度来思考，空间中不共面的四个点正好对应一个四面体，且四面体中每一个棱所在直线都有3对异面直线。因此，可以运用映射来建立空间中异面直线对数P和四面体个数f（n）之间的函数关系，为：P=3f（n）。而且从n个点当中选取4个点的组合数表示为 ，所以最终结果为P=3 ，即空间中存在3 对异面直线。

2、空间角和三角函数

由空间角的概念可以得出，任何空间角都建立在两条相交直线形成的平面角的概念之上，因此在解决与空间角相关的立体几何问题时，都应该回归到平面图形的层面上去。三角函数就是用来解决平面上“边与角”之间的问题，所以在求空间角的范围问题时，可以利用三角函数来建立含有空间角的关系式，并运用其性质去求得问题的答案。

例2 有正三棱锥V-ABC，底面的边长为x，其侧棱和底面形成的角是60°，P是侧棱VC上的一个动点，求过P、A、B截面的面积最小值。

[分析] 用α表示截面与底面ABC所形成的二面角中的平面角，△PAB的面积随着α的变化而变化，因此可以将△PAB的面积看作是角變量α的三角函数。首先需要在图1中做出角α。

设△ABC的中心为Q，连结并延长CQ与AB相交于M，则CM⊥AB，∠VCM为60°；又因为VQ⊥AB，所以AB⊥平面VMC。连结PM，则PM⊥AB，所以∠PMC为α。在△PMC中，由正弦定理可得 = ，化简可得PM= 。所以 = ≥ 。

当且仅当sin（60°+α）=1，即α= 30°时，△PAB的面积取得最小值 。

3、二次函数和空间距离

由空间距离的概念可以得出，任何一种形式的空间距离，其实质上都可以归结于点和点之间的距离，而且空间距离自身也具有确定性和最小性。其中，最小性指的就是在某个特定的位置上，两个连续运动的点之间距离的最小值。因此可以利用函数方程的思想，来解决空间距离范围或者最值的问题。先建立含有所求量的二次函数方程，然后运用其函数性质求得问题的最终答案。

例3 如图2所示，平面α与平面β相互垂直，两平面相交于直线l，点A、B都在直线l上且AB=6；射线BQ属于平面β，射线AP属于平面α，点S为射线AP上的一个动点，∠PAB=arc sin 。求动点在何处时，点S与射线BQ之间的距离最小？

[分析] 动点S与BQ之间距离的最小值，可以看作是点S与射线BQ上的点D两点之间的最小距离，即SD的最小值。因此需要首先建立AS与SD之间的函数关系。如图作SC垂直于AB于点C，由题意可得SC垂直于平面β；再过点C作CD垂直于BQ于点D，连结SD，则SD垂直于BQ，即SD为点S到BQ之间的距离。

设AS=a，因为∠PAB=arc sin ，所以SC= a，AC= a；BC=6- a；又因为∠ABQ= arc sin ，所以CD= ，SD?= + （a-1）?。

因此，当a=1时，SD取得最小值 。即AS=1时，点S到BQ 之间的距离最小。

4、图形运动和函数方程思想

函数思想是客观事物的运动及其规律在数学学科上的反映。立体几何中的几何图形处于静止的状态，对其进行适当的动态变化，就可以简化使上接第87页

用常规处理方法时带来的复杂过程，有助于促进相关问题的有效解决。此外，对于那些自身就含有变化因素的问题来说，如果能够利用“图形变化”来更加直观地表示其变化过程，就可以一针见血地突破问题关键，更加快速有效地解决问题。

例4 同例2

[分析] 例2中，是根据函数的有界性确定了S的最小值，在此利用函数方程思想来解答。

点P作为VC上的动点，平面PAB可以绕着AB转动，取AB的中点M，M为定点，所以当PM垂直于VC时，PM最短。因为PM是等腰△PAB的高，BC为定值x，所以当PM垂直于VC的时候，△PAB的面积最小。又因为∠PCM=60°，所以∠PMC=30°，PM= x，△PAB面积的最小值为 x?。

5、组合体相关问题和函数思想

立体几何中的组合体体积、表面积的范围或者最值问题，其中不仅含有距离参变量，也含有角参变量，因此这些问题都能够化为一般的函数问题来解决。首先根据题目中的条件得出范围变量（y）的基本量（ 、 、……）。比如在计算棱锥体积的公式V= sh中，s和h就是两个基本量，依据题设条件把基本量都表示为变量x的函数，然后运用方程思想求得目标函数y=f（x）。最后再利用f（x）的性质与x的范围将问题完全解决。因为f（x）通常为一般函数，所以此方法也称为一般函数法。

例5 如图3，四边形ABCD为直角梯形，其中AB垂直于BC，AD=AB=a，BA=3a，E是BC上 的一个动点，沿DE把A-DE-C折为直二面角，求 的最大值。

[分析] 作CF垂直于DE于点F，由题意可得CF就是四棱锥的高。

作DH垂直于BC于点H，设∠DEC=β，则EH=a·|ctgβ|，CF=sinβ（a·ctgβ+2a）， =- a?ctgβ+a?。则 = （5 - ）。

当点E重合于点B 时，β的最小值为 ；当点E重合于点C时，β的最小值为Π-arc sin ，所以β的范围是（ ，Π-arc sin ）。

当β的范围是（ ， ）时，5 是增函数，所以当β= 时，V的值最大；当β的范围是（ ，Π-arc sin ）时，同理可得，当β= 时，V的值最大。

综上，当β= 时，V的值最大，最大值为 。

参考文献：

[1] 沈辉，立体几何中的函数方程思想[J]，《高中生学习·高三版》，2016.

[2] 邹丽丽，函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J]，《高中数理化》，2014.

（作者单位：湖南师范大学附属中学）