小学四年级数学“鸡兔同笼”教学浅析

周建国

大约1500多年前，《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？这就是著名的“鸡兔同笼”问题。

在现实生活中，人们根本不会把鸡兔关在同一个笼子里，就算是出现了这样的情况，也不会通过去数头和脚来计算鸡兔的数量，那为什么这样的一个不可能发生的问题却能经过1500年的洗礼流传至今呢，它经久不衰的魅力究竟在哪儿呢？教学“鸡兔同笼”问题究竟能给孩子带来什么？我通过对“鸡兔同笼”的教学，对这个问题进行了一些膚浅的探究，下面我就来谈谈所发现的“鸡兔同笼”问题中数学思想方法的渗透。

一、化归思想的渗透

化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。“化繁为简”就是这一思想方法的运用。

《算经》中“鸡兔同笼”问题的数据比较大一些，为了便于小学生进行研究，根据化繁为简的思想，将原题中的数据修改为较小的数据。如：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有22只脚。鸡和兔各有几只？”（以下均以此题为例）这样在学生掌握了解决“鸡兔同笼”问题的一般思想方法和策略后，再应用于解决《算经》中数据比较大的原题时，更来得简单容易。

二、数形结合思想的渗透

“数无形，少直观，形无数，难入微”。运用数形结合，借助形象的图形，可以使得某些抽象的数学问题直观化，生动化，从而让学生的数学学习变得生动有趣，更加符合小学生的学习心理。

三、列表枚举思想的渗透

用列表枚举法解决问题，就是把所有的可能的问题答案逐个找出来，再以表格的方式进行整理，利用问题中的已知信息进行验证，得从而得到正确答案。它是一种非常朴实并且实用的解决问题的方法。

在例题教学中，可以引导学生根据“鸡兔共有8个头”这一个条件，大胆地猜测“鸡、兔各几只？”并用表格的形式逐一罗列出可能的问题答案，再根据“有腿一共22只”来验证。

在不断的猜测、验证的过程中，学生发现了“如果总脚数多了，就是兔子的只数猜多了，就要减少兔的只数而增加鸡的只数；反之，则应减少鸡的只数增加兔的只数。”甚至有学生发现如果“从中间数（即鸡兔各4只）开始猜，脚多就多猜鸡，脚少就多猜兔。”能更加快捷地找到问题的准确答案。这样的学习过程既符合小学生的认知规律和解决问题的习惯，同时又渗透了枚举思想，并不断地优化枚举策略，进一步提升学生思维的灵活性。

四、假设思想的渗透

假设思想是将凭借创造性想象，将题中的某个条件假定为与之相近的另一个条件，并从假定条件入手，分析数量关系。假设是一种重要的数学思想方法。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养灵活的解题技能。

鸡和兔的脚的只数不同是学生在解决“鸡兔同笼”问题时最大的思维障碍，为了消除这一障碍，在例题教学中，假设让每只鸡都长出2只脚来，这样鸡和兔子都有四条腿，这时候假设的情况一共就有8×4=32只脚了，比实际的“22只”多了32-22=10只，所以鸡就有10÷2=5只，兔就有8-5=3只。学生对鸡再长2只脚的假设非常感兴趣，既激发了探索欲，也使得学生喜欢上这种天马行空的“假设法”解决问题的策略，古人解决“鸡兔同笼”问题的“抬脚法”，其中也应用了“假设法”。

五、建模思想的渗透

“学生学数学就是经历数学化过程，就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。”建立模型是指人们在以数学方式研究具体问题时，通过一系列的思维活动来探究、挖掘具体事物的本质与关系，最终以符号、模型等方式将其中的规律揭示出来，使复杂的问题本质化、一般化，让同类问题的解决有了共同的程序与方法。

在例题教学中，假设8只全部都是鸡或者全部都是兔，再计算全部是鸡或者全部是兔子的脚的总数与实际的“22只”总数之间的差距，最后就可以推算出鸡和兔的只数。比如，假设8只全是兔，那么假设的脚的总数有8×4=32只，比实际的“22只”多了32-22=10只，所以鸡就有10÷2=5只，兔就有8-5=3只。在解决了“鸡兔同笼”问题后，通过引导学生观察、思考假设的这一过程，概括提炼解题模型：“鸡数=（鸡兔总数×4-实际的脚数）÷（4-2）”；同理，用“抬脚法”假设，则可以得出“兔数=（实际的脚数-鸡兔总数×2）÷（4-2）”。在抽象出数学模型后，引导学生利用模型解决类似的实际问题，如“龟鹤问题”、“坐船问题”、“答题问题”“捐款问题”等，沟通这些问题与“鸡兔同笼”问题的联系，再进一步求解，可以使模型得到的巩固、扩展，从而促进知识的内化、思想的升华。

以上就是“鸡兔同笼”问题的解法中蕴含的几种数学思想方法，从上述讨论中看出每一种解法中可能蕴含不止一种数学思想。在教学时，既要让学生掌握解决“鸡兔同笼”这一问题的策略，也要渗透一些数学的思想方法，从而提升其思维能力。但切记多种方法不必也不宜一哄而上，应当根据教材、学生的年龄和心理特征，引导学生充分展示、交流不同的方法，让学生选择适合自己的方法解答的同时，感悟不同的数学思想。数学思想方法是数学学习的精髓，是将学生所学习的数学知识转化为解决实际问题能力的桥梁，唯独构建起这个桥梁，才能让学生在学好数学的同时，又能用好数学，借助数学来服务于他们的生活。