巧用倍比法解决问题

石艳芳

新课程准则将解决问题作为一个重要目标，这个更显得课程标准的改革需要，美籍匈牙利数学家波利亚说过：“所谓解决问题就是在没有现成的解决方法时找到解决的途径。就是从困难中找到出路，找到可以解决问题的答案”。新课程标准的一个重要目标就是发展学生的创新精神合解决问题的实践能力，不仅使学生学到知识，更重要的是使他们在错综复杂的情况中利用所学习的知识对具体问题作有条理的分析和预测。解决问题的方法有很多，例如图表法，猜测法，假设法，逻辑推理法，等量代换法，分干合想法，倍比法等等。但是针对不同的实际问题我们应该选择恰当的解题方法才能高效快捷的解决问题。在多年的一线教学过程中，我发现在解决问题的过程中巧妙的使用倍比法往往会带给我们意想不到的收获。

倍比法就是在解决问题时先求出两个对应的同类量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解决问题的方法叫做倍比法。要想用倍比法解决问题，关键是要要找到题目中的同类量。再找到同类量之间的倍数关系，所求问题便迎刃而解了。那么在小学数学教学中怎么样确定两个量是不是同类量呢？我认为应该从几个方面去进行教学。

第一，比较的两个量必须是同一类计量，例如面积单位不能和体积单位相比较，长度单位不能和面积单位比较等等。

第二，在同一类计量的基础上计量单位必须相同，例如200平方米不能和0.5公顷相比较，必须将它们化成相同的计量单位，然后再来比较它们的大小或找出它们的倍数关系。

第三，比较的两个量具有同一个单位“1”，例如一本书第一天看了全书的，第二天看了余下的，第一天和第二天看的书哪一天看得多？就不能拿和直接比较，必须转换成相同的单位“1”。

第四，不具有同一个单位“1”的题目要想用倍比法，题目中必须有某部分绝对数相等的情况的两个分率，利用其倍数关系同样可以使问题得以解决。

遵循以上几点找同类量的方法，我们可以通过画图表或者画线段图的方法让学生更加简明直观的感受到题目中的同类量，以便更好的明白列式的原理。那么有哪些类型题更适合使用倍比法呢？在日常教学中我发现在以下几种题型中使用倍比法可以开门见山明确列式原理，更容易更快捷的解决实际问题。

一、用倍比法解决归一问题

归一问题就是解题时先求出一份量即单一量，然后以单一量为标准，求出所要求的量，这类题目叫做归一问题。当求单一量不能除尽时，对于中年级学生来讲就是一个很大的困难。此时我们可以调整解题思路巧妙的用倍比法解决问题就可以顺利解决。例如，45个人筑路每天修路870米，为了尽早完成任务，现在增加90人参加修路。照这样计算，每天要多修多少米？按归一法解题先求单一量用872÷45根本除不尽，在向下计算就困难重重。这时我们可以通过一个表格表示出题目中的同类量，再找到同类量中的倍比关系就能顺利解决问题。例如：

不难看出两个已知量90人和45人是同类量，增加的90人是45人的几倍，增加的修路米数就是872的几倍。列式为872×（90÷45）。

再例如，某学校六年级8名学生4小时栽树238棵，照这样计算，48名学生2天（每天按8小时计算）可以栽树多少棵？这道题如果先求单一量，列式应该是238÷8÷4，作为三年级学生是无法完成任务的。

我在教学时列表分析如下：

从表中可以看出48人与8人是同类量，16小时与4小时是同类量，因为48人是8人的6倍，16小时是4小时的4倍，所以48人2天栽种的棵树一定是238棵的24倍。列式为238×（48÷8）×（16÷4）。找到同类量之间的倍比关系用倍比法解决问题就像是找到了一个支点，很容易撬动这块顽石。

二、用倍比法解答分数乘除法的实际问题

在高年级的数学教学中，要培养学生用多种算法解题的能力，以拓展学生的解题思路。高年级学生对于各种数量关系已经有了比较清晰的认识，思维敏捷的学生解题时会不拘一格，思路很宽广。在教学过程中经常会让老师喜不自禁。

三、用倍比法解决稍复杂的行程问题

解决行程问题，离不开速度、时间、路程三者之间的数量关系，但是复杂的行程问题理解这三个量的数量关系是远远不够的，此时如果学生的思维体系中能够注入倍比的理念就相当于找到了解决问题的另外一把密钥。在教学过程中 遇到过这样一道行程问题：甲车从A地到B地要8小时，乙车从B地到A地要12小时，现在两车同时从两地相对开出，在距离中点53千米处两车相遇，相遇时甲车行了多少千米？要想解答这道题，学生心中必须要有反比的思想，也就是路程一定，速度和时间是反比例关系，那么8小时和12小时这两个同类量的比应是快车和慢车速度比的反比。因为t甲：t乙=8：12=2：3所以v甲：v乙=3：2由此得出两车同时出发到相遇时时间相同，那么時间相同的情况下速度之比等于路程之比就会得出s甲：s乙=3 ：2说明乙车走的路程是甲车所走路程的，乙车比甲车少行1-而且相遇时甲车比乙车多行两个53千米。相遇时甲车行了多少千米可以列式为53÷（1-）=159（千米）.这道题利用了两个同类量之间的反向倍比关系解决了这道复杂的行程问题。

四、用倍比法解决几何图形的实际问题

几何图形的教学内容是小学数学教学的重要内容，在求各种平面图形的面积或者是阴影部分的面积的时候如果单纯依靠公式有时力不从心，无法达到目的，此时根据题目中一个不变的量，找到其中两个已知量的倍比关系就可以解决此类难题了。