一维定态谐振子的数值解法及MATLAB指令

摘 要：本文利用数值解法算出一维定态谐振子的前九个能级的波函数，并给出一个大学阶段容易理解的MATLAB指令。其结果与常用的理论法结果相比较，得出了一致的结论。

关键词：谐振子；定态；数值解法

中图分类号：O413.1；TP311.1 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2018）08-0100-02

Abstract：The wave functions of the first nine energy levels of one-dimensional stationary harmonic oscillator are calculated by numerical method，and a MATLAB instruction which is easy to understand in the university stage is given. The result is consistent with the commonly used theoretical results，and draws a consistent conclusion.

Keywords：harmonic oscillator；stationary state；cumerical solution

0 引 言

在自然界中，广泛存在谐振运动。任何体系在平衡位置附近的微小震动，例如分子的震动、晶格的震动、原子核表面的震动以及辐射场的震动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐震动。谐振动往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种改进。所以谐振子运动的研究，无论在理论上或在应用上，都是很重要的。同时一维定态谐振子问题也是初等量子力学的重要问题，是进行量子力学的必要问题。

MATLAB是一个功能强大，界面友好的数学软件，也称之为科学技术计算机语言。在当今理论、实验、和科学计算已经在物理研究中三足鼎立的时代，不会使用计算机计算，必有诸多不便之处。

由于大多数课本都提供了一维定态谐振子的理论求解过程，所以本文提供了一种数值解法和相应的MATLAB指令。

1 数值计算

由于量子力学中很多问题用理论方法难以求出解析解，所以利用计算机强大的计算功能和数值方法求解量子力学问题就成为了一个重要的求解手段，同时该方法对谐振子的研究也具有重要的意义。一般情况可以采用打靶法[1]，打靶法求解本征值问题的做法分为以下几个步骤：先尝试一个本征值，然后将微分方程作为初值问题求解。如果所得的解不满足边界条件，就改变尝试本征值，再解方程，重复这个过程，直到找到一个本征值，在这个本征值下生成的解和边界条件的误差小于容许误差。

本文利用ode45指令来求解方程。一维定态谐振子的薛定谔方程为：

为了方便数值计算，将方程变换为：

取：

现在用一个初始的试验能量，能量步长和A值对若干态进行搜寻。MATLAB指令用法在大多数教科书中都详尽地介绍过，这里就不再解释每一个指令的意义，直接给出一个MATLAB程序：

function Untitled3

global e1

n=9； eold=-1； olddpsi=0.5； ab=1e-7；

for k=1：n

de=2*ab； e1=eold+abs（eold）/70；

while abs（de）>ab

xturn=-sqrt（2*（e1+1））； kk=（-1）^（k+1）*0.0001；

[x1，u1]=ode45（@untitled3fun，[-1 xturn]，[0 kk]）；

[x2，u2]=ode45（@untitled3fun，[1 xturn]，[0 -0.0001]）；

dpsi=u1（length（x1），2）-u2（length（x2），2）；

de=-dpsi*de/（dpsi-olddpsi）；

olddpsi=dpsi； eold=e1； e1=e1+de；

end

e（k）=eold；

subplot（3，3，k）；plot（x1，u1（：，1），x2，u2（：，1））

end

e

diff（e）

function ydot=untitled3fun（x，psi）

待求解的方程

global e1

ydot=[psi（2）；50^2*（-e1-1+x^2/2）*psi（1）]；

得出

2 一維定态谐振子的理论解法

根据量子力学教材[2]给出一维定态谐振子的理论求解过程：

这就是一维定态谐振子的能量本征值，可以看出谐振子能级间隔是相等的，相邻能级间距为。

式（7）的解是hermite多项式Hn（ξ）。所以容易证明，归一化一维定态谐振子的波函数为：

式（11）为波函数归一化条件所得出的归一化常数。

带入n值，并列出前四条能级上的谐振子能量本征函数：

画出图发现，与数值解法得出的波函数一致。

3 结 论

用数值解法得出的一维定态谐振子得出的波函数与能量间隔与普遍的理论相比较得出了一致的结论。共同表明了在量子效应下谐振子的位置概率的分布。数值解法及MATLAB的应用为大学生学习量子力学提供了一个新的渠道，省去了繁琐的理论计算与推到，同时还能够直观地反应出量子效应的特性。有效利用这个工具能降低学习量子力学的门槛，也让学生有更多的时间进行物理上的思考，而不是一味的计算。

参考文献：

[1] 彭芳麟.计算物理基础 [M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 曾谨言.量子力学卷I [M].北京：科学出版社，2018.

作者简介：郭佳林（1997.01-），男，汉族，四川人，本科在读。研究方向：量子力学。