数列中递推关系求通项公式（构造法）

张亦新

【摘 要】数列在高考中分值占比较高，已知递推关系求通项公式，出现的频率较高。本文对数列已知递推关系求通项公式，采用构造法进行分析、研究、归类、拓展，能够有效提高学生解题的能力，从而促使学生逻辑思维更加严密，培养良好的思维习惯和素养。

【关键词】数列；递推关系；通项公式；构造法

求数列通项公式是高考重点考查的内容，中学数学课本中，只有等差数列与等比数列可以直接利用公式求通项，有些数列提供递推关系可通过构造转化为等差或等比数列，利用等差或等比的通项公式，求得原数列的通项公式，体现化归转化思想在数列中的灵活应用。

解决数列问题过程中，定向思考由条件到结论，有时这种思维方式难以寻找到解题途径。此时，需要换角度思考，设法绕过障碍。数列中构造法本质就是将未知关系转化为已知的等差或等比关系，是根据已知条件的特征，构造出新的数学模型，从而使问题简化，体现发散思维。本文就数列中已知递推关系采用构造法求通项公式，进行总结、归类、拓展。

1.已知递推关系a =p·a +f（n）（本文中都满足p为常数且p≠0，p≠1）求通项

1.1已知递推关系中f（n）=q（q为常数）求通项

例1：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +1，求通项公式a 。

本例构造法思想就是设法将常数1分解到a 与a 上去，可采用待定系数法，设每项分到x，即a +x=3（a +x），化简得a =3a +2x，与原式对比解得x= ，这说明{a + }为等比数列，所以a + =- ·3 ，从而得a =- ·3 - 。

递推关系形如a =p·a +q，可构造a - =p（a - ），即{a - }为等比数列，从而求得通项a 。

1.2已知递推关系中f（n）=A·n+B求通项

例2：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +2n+1，求通项公式a 。

本例可设a +x·（n+1）+y=3（a +x·n+y），化解后a =3a +2x·n+2y-x，对比原式解方程组得到x=1，y=1，即{a +n+1}为首项1公比3的等比数列，所以a +n+1=3 ，从而a =3 -n-1。

递推关系形如a =p·a +A·n+B，构造{a +x·n+y}成等比数列，通过待定系数法可求得x，y。同理，a =p·a +f（n），f（n）为二次函数，三次函数，都可类似构造。

1.3已知递推关系中f（n）=p 求通项

例3：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +3 ，求通项公式a 。

本例特点系数3与底数一样，等式左右同除以3 ，得到 = +1，这说明{ }为等差数列，所以 =n- ，从而a =（n- ）·3 。

递推关系形如a =p·a +A·p ，可构造{ }成等差数列，通过等差数列公式可求得通项a 。

1.4已知遞推关系中f（n）=q 求通项

例4：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +2 ，求通项公式a 。

本例特点系数3与底数2不同，可将等式左右同除以2 ，得到 = · +1，可设b = ，则b = ·b +1，用例1方法解得b =（ ） -2，从而求得a =3 -2 。

也可将2 分解到a 与a 上，设a +x·2 =3（a +x·2 ），得a =3a +x·2 ，对比原递推关系x=2，即{a +2·2 }为等比数列，所以a +2·2 =3 ，得a =3 -2 。

递推关系形如a =p·a +A·q ，可两边除以q ，转化为例1形式构造成等比数列；也可直接利用待定系数法设成a +x·q =p（a +x·q ），构造{a +x·q }成等比数列，对比原式求得x，从而利用等比数列通项公式，求出通项a 。

1.5已知递推关系中f（n）=A·q +B·n+C求通项

例5：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +2 +2n+1，求通项公式a 。

本例可设a +x·2 +y·（n+1）+z=3（a +x·2 +y·n+z），化解后，a =3a +x·2 +2y·n+2z-y，解得x=2，y=1，z=1，即构造{a +2·2 +n+1}为等比数列，求得a +2·2 +n+1=3 ，解得a =3 -2 -n-1。

递推关系形如a =p·a +A·q +B·n+C，构造{a +x·q +y·n+z}成等比数列，利用待定系数法可求x，y，z，从而求出通项a 。

2.已知二阶线性递推关系，求通项

2.1已知递推关系a =A·a +B·a （A，B为常数，且A≠0，B≠0以下相同）求通项

例6：已知数列{a }中，a =-1，a =1，a =4a -3a ，求通项公式a 。

可设a +x·a =y·（a +x·a ），化解后a =（y-x）·a +xy·a ，对比已知递推关系， y-x=4，解得 x=-1，或

x·y=-3 y=3

x=-3

y=1两组解的意思是两种分解方式。第一种分解得a -a =3（a -a ），这说明{a -a }为等比数列，a -a =2·3 ，利用累加法可得a =3 -2；第二种分解方式得a -3a =a -3a ，{a -3a }首项为4公比为1的等比数列，或者首项为4公差为0的等差数列，得到a -3a =4，转化为例1的问题，可得a =3 -2。两种分解得到的结果是一致的，因此解题时只需一种即可。

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递推关系形如a =A·a +B·a 可构造成{a +x·a }成等比数列，得到的结果为a =-x·a +A·q ，可利用例4的方式求解。

2.2已知递推关系a =A·a +B·a +C·n+D求通项

例7：已知数列{a }中，a =-1，a =1，a =5a -6a +2n-3，求通项公式a 。

设 =t，得a =（t-x）a +tx·a +（ty-y）·n+tz-z-y，对比已知得

t-x=5， x=-2或 x=-3，

t·x=-6 t=3 t=2

ty-y=2 y=1 y=2

tz-z-y=-3 z=-1 z=-1两组解表示两组分

解，第一种分解可得{a -2a +n-1}为等比数列，a -2a +n-1=3 ，得到a =2a +3 -n+1，转化为例5的形式，可构造{a -3 -n}为等比数列，可得a =3 -5·2 +n。对于第二种分解，同理可得同样的结果。

递推关系形如a =A·a +B·a +C·n+D，可构造{a +x·a +y·n+z}成等比数列，得形如a =p·a +A·q +B·n+C，变为例5同类，构造{a +x·q +y·n+z}成等比数列，从而求得a ，需要二次构造。

3.已知分式递推关系，求通项

3.1递推关系形如a = ，求通项

例8：已知数列{a }中，a =-1，a = ，求通项公式a 。

本例特点是分子仅含a 的项，且系数与分母常数相同，通过倒数得到 = + ，构造{ }成等差数列，求得a = 。

递推关系形如a = ，可通过倒数，构造{ }成等差数列，从而求得通项a 。

3.2递推关系形如a = ，求通项

例9：已知数列{a }中，a =-1，a = ，求通项公式a 。

本例倒数之后可得 = · + =，设b = ，则b = b + ，形如例1形式，可求得b =1-2·3 ，从而a = 。

递推关系形如a = ，可通过倒数，构造{ +X}成等比数列，求得通项a 。

3.3递推关系形如a = （C≠0且AD-BC≠0），求通项

可利用不动点进行构造，设特征方程x= ，解得方程的根，根据根的情况进行构造，分为有两个不同的实根与两个相同的实根两种情况，如下进行分类：

3.3.1特征方程有两个不同实根

例10：已知数列{a }中，a =2，a = ，求通项公式a 。

设特征方程x= ，解得两根为1与-1，则可设 =t· ，（t为常数），根据已知关系，可得a = ，将a ，a 代入得到t=-3，这说明{ }是首项为3公比为-3的等比数列， =-（-3） ，解得a = 。

递推关系形如a = ，如果特征方程x= 有两不同实根α，β，可构造{ }成等比数列，公比可由第一与第二项求得，利用等比数列通项公式，解出通项a 。

3.3.2特征方程有两个相同实根

例11：已知数列{a }中，a =2，a = ，求通项公式a 。

设特征方程x= ，解得两相同根x=- ，则可设 = +t，根据已知关系a = ，将a ，a 代入得到t=1，这说明{ }是首项为 公差为1的等差数列，所以 =n- ，从而解得a = 。

递推关系形如a = ，如果特征方程x= 有两相同实根α，可构造{ }成等差数列，公差可由第一与第二项求得，利用等差数列通项公式，解出通项a 。

本文通过研究三类数列递推关系，构造求得通项，归纳总结方法。深刻理解递推公式与通项公式概念，有利于优化思维品质，提高逻辑能力；在数列课的教学中，引导学生运用构造法求通項，不仅能提高学生的解题能力，更重要是通过这种解题方法可丰富学生的想象力，培养学生的创造性思维能力。

数列递推公式转换为通项公式，观察、分析，合理变形，是成功构造新数列的关键。它的本质就是将递推关系转化为等差或等比数列，化繁为简、把未知转化为已知、从不熟悉到熟悉，这是解答数学问题的共性。

【参考文献】

[1]任志鸿.高中总复习优化设计[M].知识出版社，2016年12月

[2]王朝银.步步高高考总复习数学[M].黑龙江教育出版社，2017年2月