反例在数学分析教学中的应用

王丽丽，薛 然

数学分析课程作为数学专业的一门重要的专业基础课，是几乎所有后继数学课程的基础，又是新生入学后首先接触的专业基础课之一.所以，在讲授数学分析这门课程时，教师不仅要教会学生循序渐进地领会已抽象出来的普遍结论，掌握扎实的专业基础知识，更重要的是培养学生抽象的逻辑思维能力，使其切实掌握运用数学工具分析问题、转化问题、解决问题的思想和方法.然而数学分析中的概念、定理和法则较多，许多重要的概念、定理和法则都是用较为抽象的数学语言简短且精炼的进行描述，但实质内容往往非常丰富，如何使学生快速准确的理解这些概念、定理和法则并非易事，除了从正面对其进行严密的证明外，适当的举反例来对比考证，收益会更大.本文结合数学分析教学中的具体实例，结合笔者教学经验，阐述反例在数学分析教学中的重要应用.

1 恰当的反例可以深化学生对基本概念的理解

概念是数学分析理论的基础，但数学分析中的概念比较抽象，学生往往只是机械的记忆，抓不住它的本质，从而导致对概念的理解困难或混淆，教师在引进一个新的概念时，可以适当列举几个具体例子将概念具体化，再适当地举几个反例，不仅从正面分析和强调概念本质，而且也从反面理解概念的深层含义，从而深化学生对概念的掌握，抓住概念的本质，使教学效果明显提升.

例1 在讲授周期函数时，学生会有错误的观念：周期函数自然有基本周期.

事实上，教师可以举出反例：狄利克雷函数的周期为全体有理数，但它却显然没有基本周期；再如常量函数 f(x)=c是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期.

例2 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数，统称为初等函数［1］.

为了加深学生对初等函数概念的理解，可以列举狄利克雷函数和黎曼函数，都是非初等函数；另外，还可以列举形如函数f(x)=1+x+x2+x3+…也非初等函数.

例3 在讲授数列极限的ε-N几何定义时，学生会误解：对∀ε＞0，若数列{an}中有无穷多项落在U(a;ε)之内，则称数列{an}收敛于a.

此时，除了从正面举例验证极限的正确定义是对于∀ε＞0,在U(a;ε)之外至多含有数列{an}中的有限项外.教师可以列举反例：对于数列{( - 1)n} ，∀ε＞0,{( - 1)n}中所有的奇数项都落在了U(-1;ε)之内，所有的偶数项都落在了U(1;ε)之内，但该数列为发散数列.通过这个反例，学生自然对极限的定义有了更深层次的理解.

例4 在讲授无穷大量的定义时，学生会误解：无穷大量和无界数列是等价的.

事实上，无穷大量一定是无界数列，但反之无界数列却未必是无穷大量，教师可以列举反例：数列{n+(-1)nn}显然是无界数列，但是当n→∞时，{n+(-1)nn}不是无穷大量.

例5 在讲授同阶无穷小量定义时，设当x→x0时，f(x)与g(x)都为无穷小量，若，则f与g必为x→x0时的同阶无穷小量.学生会理解为若不存在，则f与g就不是同阶无穷小量.

此时，教师可举例：函数f(x)=x，g(x)=，显然他们都是x→0时的无穷小量，且不存在，但是≤3，从而f与g为x→0时的同阶无穷小量.

例6 在讲授可去间断点定义时，学生会不假思索地断定函数f在点x0无定义，则x0就为f的可去间断点.

事实上，学生忽略了x=x0作为函数f的可去间断点的前提条件为存在，例如函数虽然在x=0处函数无定义，但是由于，从而x=0是函数f的第二类间断点.通过这一简单的反例可使学生避免在判断间断点类型时产生误区.

图1 函数y=f(x)的极值点

例7 在讲授函数极值的定义时，教师可以列举反例深化理解极值点的定义，如图1所示，x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7都是函数的极值点，即使函数在左端点x1处的函数值f(x1)≥f(x),x∈，但是x1也不是极大值点，因为在区间(0,1)上不一致连续，但是在区间(0,1)上每一点都连续.通过讲解这一例子，学生自然加深了对“一致连续必连续，但是连续未必一致连续”的理解.

例9 在讲授导数的几何意义时，函数f在点x0的导数是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线斜率.学生会误解：函数在一点的导数存在，则曲线在该点的切线存在，导数不存在，则曲线在该点不存在切线.事实上，后半部分的叙述是错误的.教师指出反例：抛物线x=y2+1，虽然在点(1,0)处不存在导数，但是它在点(1,0)处却有一条垂直于x轴的切线.通过这一反例加深了学生对导数几何意义的理解.

例10 在讲授高阶微分时，以二阶微分为函数在x1处只存在单侧邻域U+(x1)；另外，可以强调同一函数的极大值不一定大于其极小值，x5为极大值点，x2为极小值点，但是f(x5)＜f(x2).

例8 在讲授函数在区间上一致连续概念时，会和函数在区间上连续的概念相混淆，教师恰当地举出例子：函数例，教师要列举等式：dx2=dx⋅dx,d(x2)=2xdx与d2x=d(dx)=0，以加深学生对这三种形式的本质区别.

例11 在讲授函数f在点x0处的泰勒公式f(x)=Tn(x)+o((x-x0)n)时，其中Tn(x)为函数f在点x0处的泰勒多项式，学生会误解：只要函数表示成f(x)=pn(x)+o((x-x0)n)形式，则pn(x)必定为函数f在点x0处的泰勒多项式.事实上，如果函数f在点x0处存在直至n阶导数且满足f(x)=pn(x)+o((x-x0)n)，则pn(x)必定是函数f在点x0处唯一的泰勒多项式.此时，教师可以列举反例：函数f(x)=xn+1D(x),其中n∈Ν+，D(x)狄利克雷函数，函数f在点0处除了一阶导数外不具备其他任何阶导数，但xn+1D(x)=o(xn)，即f(x)=0+o(xn),pn(x)=0并不是函数f在点x0处的泰勒多项式.

例12 在讲授曲线拐点定义时，拐点是凸曲线和凹曲线的分界点［2］.学生会误解为：函数在拐点处的二阶导数必定为0，事实上，拐点处函数未必存在导数，教师可以举例：函数在x=0处不存在导数，但点(0,0)是曲线的拐点.

2 恰当的反例可以帮助学生掌握定理和性质

数学分析的教学中存在大量的定理、性质及运算法则，其条件往往是不能改变或不能削弱的，教师应该重点讲解定理和性质成立的条件，帮助学生理解其实质，从而使其掌握定理成立的结论，以便更好地进行推理、论证和应用.反例能使学生分清定理中条件的充分性和必要性，明确定理条件的严密性.

例13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.在讲授这一定理时，学生会误解：任何初等函数都是在其定义域上的连续函数，而不明白为什么要强调“定义区间”.此时，教师举出反例：函数的定义域是{x|x=0或x=-2或x≥1}，对于x=0及x=-2这些离散的点处函数f是谈不上连续性的，只在[1,+∞)这个定义区间内连续，从而强调了初等函数是“在其定义区间上”连续的.通过这个反例，学生不仅轻松地掌握了该定理，还加深了对“定义域”和“定义区间”的理解.

例14 若函数f在点x0连续，g在点u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g∘f在点x0连续.反之，复合函数g∘f在点x0连续，g在点u0连续，u0=f(x0)，但函数f在点x0未必连续.

例15 费马定理告诉我们函数的极值点必为该函数的稳定点，但是反之，稳定点并不一定为函数的极值点，此时可举例：对于函数f(x)=x3，点x=0是稳定点，但却不是极值点.

例16 教师在讲授函数可导和连续的关系时，可以通过列举：函数f(x)=|x|在点x=0处连续，但不可导.通过这一反例强调可导仅是函数连续的充分条件，而非必要条件.

例17 在讲授极限的保不等式性时，设{an}与{bn}均为收敛数列.若存在正数N0，使得当n＞N0时有an≤bn,则如果把条件换成an＜bn，学生会错误地得到此时教师应当适当举例：数列和对于 ∀n∈N+，都有成立，但通过这一简单实例强调即使条件换成an＜bn，结论也仅能得到

例18 若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积，反之不成立.此时教师可以列举反例：函数在区间[0,1]上可积，但它在[0,1]上却有无限多个间断点.

例19 若f在[a,b]上可积，则 ||f在[a,b]上也可积，反之不成立.此时教师可以列举反例：函数在区间[0,1]上不可积，但 ||f≡1在[0,1]上可积.

例20 在讲授二元函数可微与偏导数存在的关系时，学生往往会类比一元函数可微和可导的等价关系，推出二元函数可微与偏导数存在也是等价的，事实上，通过反例：函数可知偏导数fx(0,0)=fy(0,0)=0，但f在原点处不可微［3］.通过此例使学生牢记二元函数偏导数存在仅是可微的必要非充分条件.

3 恰当的反例可以加深学生对运算法则的理解

学生学习的过程实质上是知识积累的过程，是不断产生错误并随之纠正错误的过程，学生在理解运算法则时，往往会把已掌握的知识迁移到新知识上，而忽略两个知识点本质的区别，教师适当列举反例，可以弥补其理解上的漏洞，修补相关知识.

另外极限的四则运算可以推广到如果有限个数列的极限都存在，那么它们的和的极限也存在，并且满足四则运算法则.此时，教师列举错误的计算过程为，虽然上述和式中每一项的极限都存在且都等于0，但是随着n→∞，该和式为无限项的和，不再满足四则运算法则.事实上，利用迫敛性可证明

通过这两个例子，强化学生对极限四则运算法则的理解，避免了运用极限四则运算法则时的错误.

4 结论

列举反例是一种很有效的教学方法，应当引起教师的重视，它把抽象的数学理论转化成典型、形象、直观的例子，给人以身临其境的感觉.在数学分析的教学中，教师应适当地穿插一些反例，易于学习、便于理解.另外，教师在教学过程中需要留意学生易犯的错误，积累并提取出来作为反例，针对学生有效地进行讲解，从而提高教学质量.