基于一字形传感器阵列的磁性目标定位方法

张 琪， 张英堂， 李志宁， 李青竹， 郑建拥

(1. 94019部队， 新疆 和田 848000； 2. 陆军工程大学石家庄校区车辆与电气工程系， 河北 石家庄 050003)

磁性体(如未爆弹[1]和水下车辆等[2])产生的磁异常信号可由磁传感器测得。磁标量传感器具有相对于坐标轴方向不敏感的优势[3]，但仅能测得总场强度信号，获得的信息量较少。磁矢量传感器不仅能测得磁性目标在3个正交方向的磁场矢量，由多个磁矢量传感器构成的张量探头还能获得磁梯度张量信息。磁梯度张量不仅具有信息量大、分辨率高的优势，而且能有效屏蔽地磁背景场的干扰。

WYNN[4]首次提出了磁偶极子的单点定位理论；ZHANG等[5]指出磁偶极子的定位算法是欧拉反褶积的一种特例；NARA等[6]通过计算磁梯度张量矩阵的逆与3个正交方向上的磁场矢量的乘积来估算磁偶极子的位置；张朝阳等[7]研究了磁偶极子模型的适用条件；NARA等[8]通过将欧拉方程转化为积分形式，提出了一种具有更高精度的新型定位方法，得到了具有磁通面积分的解析解。磁性目标的位置虽然可以通过解析法直接反演得到，但在实际应用中，由磁传感器测得的磁异常信号通常是磁性目标产生的异常场和地磁背景场的叠加，很难将二者进行有效分离。

为消除地磁场的影响，李光等[9]和于振涛等[10]分别设计了正六面体和正三角形的磁梯度张量探测系统，实现了磁偶极子的单点定位，但并未经试验验证；GANG等[11]利用5个三轴磁通门磁传感器构建了十字形探测阵列，并提出了一种基于高阶磁梯度张量的磁性目标定位算法，可实时定位静止磁性目标。上述方法虽然从理论上实现了磁偶极子的定位，但在实际应用中，不仅需要搭建复杂的磁传感器阵列探测系统，而且需要对单个三轴磁传感器的自身误差和三轴磁传感器轴系之间的对正误差等进行严格校正。鉴于此，笔者首先在欧拉反褶积公式的基础上，推导了基于磁梯度张量的改进定位算法，给出了附加约束方程，然后设计了一字形磁传感器阵列探测系统，并通过仿真对比分析了改进算法和直接反演法在受到地磁背景场、地磁场梯度和系统运动的影响时的定位误差，最后通过相关定位试验得到了精度更高的定位解。

1 定位理论

1.1 磁梯度张量

二阶磁梯度张量表示磁场三分量在3个互相正交方向上的空间变化率，其矩阵形式为

(1)

式中：G为二阶磁梯度张量矩阵；Bi(i=x,y,z)为磁场矢量；Bij(i,j=x,y,z)为二阶磁梯度张量分量。

1.2 直接反演法

当探测距离大于2.5倍的磁性目标长度时，可将该磁性目标简化成磁偶极子模型[7]。在该条件下，磁矩矢量为m=(mx,my,mz)的磁偶极子在距离其r=(rx,ry,rz)T处产生的磁场矢量和二阶磁梯度张量分量可分别由下式计算得到：

(2)

(3)

根据欧拉反褶积公式[5]，磁性目标的位置r、磁场矢量B和二阶磁梯度张量矩阵之间的线性关系为

Gr=-3B,

(4)

则磁性目标的位置矢量可表示为

r=-3G-1B,

(5)

即

(6)

式(6)即磁偶极子的单点定位算法，亦称直接反演法。若已知任一观测点的磁场三分量和二阶磁梯度张量分量，即可反演出磁性目标的位置。其中：磁场三分量可由三轴磁传感器直接测得；二阶磁梯度张量分量可通过磁梯度张量探头计算得到。

1.3 改进的定位算法

由于地磁场梯度较小，一般不超过0.02 nT/m，因此磁梯度张量基本不受地磁场的影响。然而，实测磁场矢量却不可避免地包含地磁场分量，且二者难以分离。另外，磁异常数据的导数阶次越高，其定位精度越高，但高阶导数的计算，尤其是高阶垂向导数的计算受高频干扰的影响较大。因此，为了有效降低地磁场对定位精度的影响，对式(4)等号两边分别求水平方向的偏导数，即

(7)

三阶磁梯度张量矩阵仅包含7个独立的张量分量，因此式(7)又可表示为

(8)

由于式(8)是欠定方程组，因此还需引入额外的方程。二阶磁梯度张量矩阵是对称阵，对于磁偶极子，其绝对值最小的特征值对应的特征向量b3=(b3x,b3y,b3z)垂直于m和r所在的平面[12]，故满足

b3xrx+b3yry+b3zrz=0。

(9)

联立式(8)、(9)，得到方程组

(10)

式中：Bijk(i,j,k=x,y,z)为三阶磁梯度张量分量。

因此，磁偶极子的位置矢量可表示为

(11)

式(11)即改进的定位算法，若已知任一观测点的二阶和三阶磁梯度张量分量，即可反演出磁性目标的位置，且该解具有唯一性。

1.4 磁探测系统

由于一字形传感器阵列的探测效率较高，单次扫描就可以获得大量的磁异常数据，因此将m(m≥3)个三轴磁传感器依次等间距排布，构成一字形探测阵列，如图1所示。在某一探测高度，以某一恒定速度v移动传感器阵列系统，并以相同的采样周期同步采样n次，便可得到m×n个采样点处的磁场三分量数据。

相比三角形、正方形、直角四面体和正四面体结构，十字形结构张量探头的测量误差最小[13]。为了获得磁性目标的磁梯度张量数据，首先，以单个磁传感器为研究对象，提取其在各采样点处的磁场三分量数据；然后，以磁传感器阵列为研究对象，提取其在各轴线上的采样结果；最后，以连续3条轴线上的采样结果为分析对象，选择5个最邻近且能够构成十字形的采样点，以获得磁梯度张量数据。为便于描述，本文将这样的5个采样点称之为类十字形张量探头，如图2所示。

结合测得的磁场三分量数据，利用有限差分法即可得到类十字形张量探头中央的二阶磁梯度张量。由于磁感应强度在无源空间中的散度和旋度均为0，因此二阶磁梯度张量矩阵仅包含5个独立分量，具体公式为

(12)

式中：Bij(i=1,2,3,4;j=x,y,z)为各采样点处的磁场分量；dx和dy分别为相邻采样点在X和Y方向上的距离。

进一步地，利用有限差分法可近似得到张量探头中央的三阶磁梯度张量分量，其公式为

(13)

1.5 误差分析

为了研究所述方法的定位效果，引入目标位置的绝对误差(Absolute Error，AE)和均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)作为定位结果的评价指标，其公式为

(14)

2 仿真分析

定义一个磁偶极子，并将其放置于坐标原点，磁化倾角和磁化偏角分别为30°和45°，总磁矩为1 000 A·m2。其中：x轴的正方向朝北，y轴的正方向朝东，z轴的正方向垂直向下。假设测区的平均地磁场强度为53 000 nT，地磁倾角和地磁偏角分别为56°和-16°。利用6个三轴磁传感器组成一字形阵列探测系统，并放置在Z=-10 m和X=-20 m两平面的交线上，其中，1号磁传感器位于点(-20 m，-20 m，-10 m)处。相邻磁传感器之间的间距为0.2 m，采样间隔为0.1 m，磁传感器的测量精度为0.1 nT。测区大小为20 m×20 m，且磁探测系统能够实现对整个测区的数据采集。

需要说明的是，仿真中的磁倾角、磁偏角和磁矩等参数均为任意选取，也可以选择其他值以验证所述方法的有效性。

2.1 地磁背景场对定位误差的影响

若考虑地磁背景场的影响，即当磁传感器的测量值包含地磁场分量时，直接反演法、改进算法的定位误差分别如图3、4所示。可知：直接反演法在3个方向上的定位误差较大；相比之下，改进算法在3个方向上的定位误差明显小得多。通过进一步计算可知：直接反演法和改进算法估算结果的RMSE分别为1382 579.82m和24.83m。由此可知：直接反演法受地磁背景场的影响较大，定位精度较低；而改进算法基本不受地磁背景场的影响，定位精度较高。

2.2 地磁场梯度对定位误差的影响

为了消除地磁背景场的影响，将地磁基站的观测值与磁传感器的测量值的差值作为磁偶极子的磁异常矢量值。假设基站与磁探测系统之间的距离为800 m，平均地磁场梯度为0.02 nT/m，直接反演法、改进算法的定位误差分别如图5、6所示。可知：直接反演法在3个方向上的定位误差变小，但整体误差水平仍然较高；而改进算法无明显变化，其在3个方向上的定位误差远小于直接反演法。通过进一步计算可知：直接反演法和改进算法估算结果的RMSE分别为104.33 m和24.83 m。由此可知：消除地磁背景场后，直接反演法的定位精度略有提高，但是受地磁场梯度的影响，其定位误差仍然较大，整体误差水平较高；而改进算法基本不受地磁场梯度的影响，整体误差水平较低。

2.3 系统运动对定位误差的影响

同时忽略地磁背景场和地磁场梯度的影响，仅改变磁探测系统的姿态。假设系统俯仰角和横倾角分别为0.1°和0.05°，直接反演发、改进算法的定位误差分别如图7、8所示。可知：直接反演法在3个方向上的定位误差较大，而改进算法在3个方向上的定位误差明显小于直接反演法。通过进一步计算可知：直接反演法和改进算法估算结果的RMSE分别为1 254.54 m和20.44 m。由此可知：直接反演法受系统运动的影响较大，定位精度较低；而改进算法基本不受系统运动的影响，定位精度较高。

3 试验验证

为了验证所述方法的实际应用效果，建立由传感器模块、数据采集模块和PC操作模块等组成的磁探测系统，如图9所示。将5个三轴磁通门传感器依次等间隔地安装在铝制支架上，构成一字形阵列结构。相邻磁传感器之间的间隔为0.25 m，阵列结构的单次步进距离为0.1 m。

为了消除地磁背景场的影响，首先利用磁探测系统测得测区的平均地磁场强度，然后在测区内放置一个小磁铁，并将其视作磁偶极子模型，最后通过等间距地移动一字形磁传感器阵列实现磁异常数据的采集。改变小磁铁的位置，进行4组定位试验，2种方法的定位结果如表1所示。由表1可知：在实际探测过程中，改进算法的RMSE始终小于直接反演法，说明改进算法的实际定位精度较高。由于受到磁传感器的零点漂移误差、灵敏度不一致误差、三轴非正交误差、传感器周围的软磁和硬磁干扰误差等影响，实际定位结果相比磁性目标的真实位置仍存在一定的误差，但改进算法已基本满足工程实践需要，实用性更强。

表1 2种方法的定位结果 m

4 结论

仿真及试验结果表明：相比直接反演法，本文所提改进算法受地磁背景场、地磁场梯度和系统运动的影响更小，定位精度更高，实用性更强。但改进算法仍存在一些不足，利用有限差分法估算得到的高阶磁梯度张量不仅与传感器的测量精度、基线长度有关，而且容易受到噪声干扰的影响，因此，在下一步的工作中需要研究系统误差对定位结果的影响，并可通过对磁探测系统进行校正和补偿来提高定位精度。