例谈给定含参线性目标函数的最优解问题

张文斌

“题设给出x，y满足的二元一次不等式组，以及含参线性目标函数的最优解的个数，求参数的取值范围或参数的值”，此类问题的求解具有一定的难度，需要在变化过程中去灵活思考分析，同时还需要考虑全面，防止遗漏，请看以下归类解析.

类型一：给定含参线性目标函数的最优解“唯一”

一般地，根据x，y满足的二元一次不等式组，以及含参线性目标函数的最优解唯一，求参数的取值范围，其关键是让线性目标函数对应的直线绕着最优解对应的点“旋转分析”，以便考虑全面.

例1.已知实数x，y满足线性约束条件x-y-2≤0x+2y-5≥0y-2≤0，若目标函数z=kx+y当且仅当x=3，y=1时取得最小值，则实数k的取值范围是________.

分析：由于目标函数z=kx+y中涉及参数k，所以动直线

y=-kx+z（将z看作常量）的斜率不是常数，故本题需要根据最优解唯一以及动直线的斜率与可行域中边界直线的斜率的大小关系，加以灵活分析.

解析：如图，先画出可行域，易求得点A（3，1）.于是，让动直线y=-kx+z（将z看作常量）绕点A“旋转分析”易知：应满足

kAC<-k

又易知kAC=-，kAB=1，所以-<-k<1，即-1

故所求实数k的取值范围是（-1，）.

评注：由于最优解对应的点是唯一确定的，故可让直线绕点“旋转分析”，其目的是全面考虑动直线的各种可能位置中，有哪些是适合题意的.

类型二：给定含参线性目标函数的最优解“有无穷多个”

一般地，根据x，y满足的二元一次不等式组，以及含参线性目标函数的最优解有无穷多个，求参数的值，其关键是将“平移直线法”和“分类与整合思想”加以灵活、综合运用，以便考虑全面.

例2.设变量x，y满足约束条件x-y+2≥02x+3y-6≥03x+2y-9≤0，若z=kx-y（k∈R）取得最小值时的最优解有无穷多个，则实数k的值为

（ ）

A.1或- B.1或-

C.-1或 D.-或-

分析：由于目標函数z=kx-y中涉及参数k，所以动直线y=kx-z（将z看作常量）的斜率不是常数，故本题需要根据题设最优解有无穷多个以及动直线的斜率与零的大小关系加以讨论分析.

解析：如图，画出可行域，利用平移直线法分析可知：

当k>0时，为满足题意应使动直线y=kx-z与直线AB的斜率相等，所以有k=1（对应最优解为线段BC上任一点的坐标）；

当k=0时，显然不适合题意；

当k<0时，为满足题意应使动直线y=kx-z与直线BC的斜率相等，所以有k=-（对应最优解为线段BC上任一点的坐标）.

综上可知，本题应选B.

评注：一般地，若最优解有无穷多个，则最值情景一定满足目标函数对应的动直线与可行域的边界直线重合.特别提醒：动直线与边界直线重合时，目标函数是取得最小值还是最大值，则需要根据教材给出的最值规律加以具体判断.

综上所述，处理此类问题的关键在于将静态的问题放置到一系列的运动变换过程中去加以思考分析.这样求解具体问题，有利于从运动变换的角度对问题进行探究.值得一提的是，我们要注意具体“动”的方式，通过在“动”中去关注、运用题设条件，从而可帮助我们顺利分析、解决目标问题.

？誗编辑 鲁翠红