分数单位有什么价值——《分数与除法的关系》与《真分数和假分数》课时整合教学实践

吴建芳

（浙江省湖州市湖师附小教育集团，浙江湖州 313000）

引 言

小学数学教材将分数的学习分为“分数的初步认识”（三年级上）、“分数的意义和性质”（五年级下）两个阶段来学习。近日笔者对所任教班级在五年级下《分数与除法的关系》课时教学之后，随机调查“解方程16x-8.7=8.3”的情况如下(表1)。

表1 解方程16x-8.7=8.3的调查情况

全班59人，其中38人正确用小数除法计算出准确结果1.0625，约占65.5%，用错误分数16/17表示商的共16人，约占27.6%，真正用17/16表示结果的只有3人，约占5.2%，其他错误2人，约占3.4%。从调查结果可以看出，学生学习了“分数与除法的关系”之后，其中65.5%的学生虽然结果是正确的，但是不会自觉地用分数表示商，“分数作为一种数”的意识不明显，而用分数表示两个数的商恰恰是分数意义最本质的反映。另外，由于在《真分数和假分数》课时教学之前，学生大量接触的是真分数，从而导致了学生“分数的分子一定比分母小”的错觉，形成了对分数意义的片面理解。因此，在用分数表示商的学生中绝大部分都是用错误分数16/17表示的。

基于以上调查结果和分析，笔者尝试将《分数与除法的关系》《真分数和假分数》进行课时整合教学。

一、经历分数单位的产生过程，理解分数与除法的关系

教材在《分数的意义》课时教学时，对分数的定义“把单位‘1’平均分成若干份取一份的数，叫作分数单位”一带而过。学生对分数单位产生的必要性没有体会，更体会不到分数单位的价值是什么。分数源于除法，而除法的原始形态就是平均分，分数单位的产生同样是因为平均分的过程中，不能整个整个“分”从而引进了比1更小的计算单位——分数单位。下面是一个教学实例：

师：同学们，老师手中有好多卡片，要平均分给4个同学。你们知道怎么分吗？

生：教师，你那里一共有多少张卡片啊？

师：我也没有数过，真的不知道有多少张。

生：那就像发扑克牌一样，一张一张地发就可以了。

师：一张一张地发就是说我们这时候计数单位是1。

师：教师今天还带来了3个一样的饼，要分给上课表现最好的4个同学，你们能帮帮教师吗？

学生操作活动，学生展示两种结果，师生共同归纳（如图1）：3÷4=3/4（块）

图1 课堂归纳结果

师：那么，这两种平均分的分法，有什么相同的地方呢？

生：不能一个一个地分了，只好变成一小块一小块地分。

师：那现在的一小块是多少？

生（齐）：一小块是1/4块。

师：那如果是这三个饼，平均分给五个人，多大的一小块一小块地分呢？

生（齐）：1/5块1/5块地分。

之后，师生交流讨论，归纳分数与除法的关系。

这里，“3个饼4个人平均分”的问题，学生常见的两种分法是：三个叠一起切成同样的4份，或者三个饼分别切成4小块，目的都是变成可以等分给4个人的小块——改变计数单位。整个过程中，学生源于平均分的实际需要，经历了从“一整个一整个地分”到“一小块一小块地分”的骤变过程，分数单位的产生成为“平均分”的需要，学生从中体会到了分数单位的价值。

二、经历分数单位的累加过程，体会真分数和假分数的实质

我们知道，一个数都是相应计算单位累加的过程。比如，整数8就是8个1的累加，小数0.8也是8个0.1的累加。整数和小数的累加满足十进制计数法的“满十进一”，但是分数单位的累加却是“N进制计数法”。因此，真分数与假分数的本质也是相应的分数单位累加的结果。

师：下面请大家帮老师解决这个问题，5个相同的饼平均分给4个人该怎么分？

学生画图操作后，反馈了两种分法与结果(如图2)。

图2 学生画图结果

师：大家看，这两种分法，结果的大小是相等的，那分的过程有什么不一样呢？

师：是啊！第一种分法，全部转化成一种计数单位——3个饼4个人平均分成的小块。而第二种分法，先一整个地分，再把余下的转化成分数单位——小块后继续分。想一想前面3个饼4个人平均分为什么都转化成了一种分数单位呢？

生：因为3个饼4个人平均分，每人分到的肯定不到一个。而5个饼4个人平均分，每人分到的一定是一个多，所以可以先一个一个地分。

之后，教师引导学生研究真分数和假分数的概念。

三、经历分数单位的直观转化，感悟数系扩张

数的概念的每一次扩张都标志着数学的巨大飞跃。分数源于除法的需要，负数源于减法的需要，无理数源于开方的需要……一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造得如此完备和缜密，以致在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具[1]。小学阶段，数的概念扩大到分数系，完成了对加法、乘法和除法的封闭。我们可以充分利用数轴(如图3)，比较直观地让学生建立“非负有理数”的概念，体会分数是一个数的本质。

图3 数轴

师：直线上的一大格表示1，那么每一小格是多少呢？你会写出上面的这些点分别表示哪些数吗？

学生操作之后，2、3、4学生均不用假分数表示，教师进行引导。

生1：2、3、4是整数。

师：你发现了什么？

生：整数都可以写成分数，而且分母由你定。

师：分母由你定，你能给大家举两个例子吗?

……

学生一句“分母由你定”，其实就是分数的“N进制”特点的原生态语言描述。数轴上的“一大格”“一小格”就是相应的计数单位（分数单位），数轴上的“大格”与“小格”相互转化了，完成了计数单位的转化，也是分数的“N进制”的几何直观。教师又通过计数单位的累加，充分利用数轴，让学生形象地领悟了整数与分数的关系，真正经历了数系扩张的过程，体验了思维带来的愉悦和成功。

在教学中始终围绕着“分数单位”展开。通过“创造”分数单位的过程，认识分数与除法的关系；通过分数单位累加的过程，认识真分数和假分数；通过在数轴上进行计数单位的转化过程，完成数系的扩张。教学实践之后，笔者对任教对比班级（56人）进行了随机作业“解方程16x-8.7=8.3”的调测查，结果如下（表2）。

表2 随机调查结果

显而易见，学生用分数表示商的人数比例大大提高，分数是一种数的意识明显增强。分子分母颠倒的错误人数比例也大大降低，说明学生在课时整合的学习中，纠正了“分子比分母小”的片面观念。学生可以从更深刻、更全面的角度去理解分数，对分数的认识已经从第一阶段“分数的份数定义”飞跃到“分数的商定义”。

结 语

从以上的教学实例可以看出，开展《分数与除法的关系》与《真分数和假分数》的课时整合教学，可以让学生对分数的概念有更深入的理解。这说明在某种程度上课时整合教学具有可行性，教师在其他知识的教学中不妨大胆发挥，以此提高学生的数学水平，促进学生数学素质的发展。