基于分数阶傅里叶变换的GNSS接收机抗线性调频干扰技术研究

席 闯，常 青，李舸争，王 昊

(北京航空航天大学，北京 100191)

0 引言

全球导航卫星系统(Global Navigation Sate-llite System，GNSS)信号采用直接序列扩频(Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS)通信技术，受益于编码增益以及扩频增益，本身具备一定的抗干扰能力，但是当外部干扰大于直扩系统的干扰容限时，系统的性能会急剧下降[1]。目前，基于阵列天线的空时自适应处理算法能达到较好的干扰抑制效果，但是需要阵列天线等相关设备，具有一定的设备局限性。基于单天线的抗窄带干扰技术已经比较成熟，但抗宽带干扰一直是个难点，因此近年来研究宽带的非平稳干扰对扩频系统的影响也越来越受到人们的重视。线性调频(Linear Frequency Modulation，LFM)干扰是一种实际中常见且较为典型的宽带非平稳干扰，在实际中对卫星导航系统的性能有着较大的危害，所以对单天线抗LFM干扰的研究具有较高的研究价值。

单天线抗LFM干扰的方法总的可以分为两类。一类方法通过对LFM干扰的参数估计，在时域消去LFM干扰，但是此类方法受参数估计精度的影响较大[2]。另一类方法在变换域对信号做滤波处理。文献[3]利用短时傅里叶变换对LFM干扰进行抑制，但受限制于Heisenberg测不准原理，难以在时域和频域取得较好的平衡。分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform，FRFT)是一种较为有效的处理LFM干扰的手段，其抗干扰的思想是在最佳变换阶次下，LFM信号会在FRFT域内呈现能量聚集现象，而有用信号呈分散状态，利用这种特性将干扰与信号进行分离。目前FRFT抗LFM干扰的研究，主要集中于单周期的LFM干扰抑制。但是在实际应用中，数据段内经常包含多个周期的连续LFM干扰，处理起来计算量很大。本文研究了连续多周期的LFM干扰，提出了利用FRFT域内的幅度一阶矩逐精度计算最佳变换阶次，同时在处理连续LFM干扰时提出了利用前一段数据的最佳变换阶次辅助计算，通过仿真验证了算法的正确性，并且验证了此算法可以减少求取最佳变换阶次的计算量。同时，针对GNSS接收机中的LFM干扰，对信号的预处理与阈值的自适应选取做了研究，提出了对应的处理方法，介绍了GNSS中抗LFM干扰的流程，最后通过仿真验证了算法抗LFM干扰的有效性，并测试了算法抗LFM干扰的性能指标。

本文第1节首先介绍了FRFT的定义与性质。第2节介绍了关于信号预处理、计算最佳变换阶次、阈值的自适应选取的原理与实现。第3节给出了相关的仿真结果，并对仿真结果进行分析，得出了相关结论。第4节对本文所做的工作做了总结，并对下一步研究的工作重点进行了介绍，同时对抗干扰技术的发展进行了讨论与展望。

1 FRFT定义及性质

FRFT由Namias在1980年首先给出具体的数学定义[4]。FRFT是一种分数阶化的傅里叶变换，所以FRFT也被认为是一种广义的傅里叶变换[5]。FRFT可以理解为时频面上的坐标轴的旋转，如图1所示。当旋转角度α为0°时，经FRFT后与原来信号相同；当旋转角度α为90°时，经FRFT后是信号的频域信息；当旋转角度α不为90°的整倍数时，则相当于在分数阶化的时频域对信号进行分解，此时既包含信号的时域信息，也包含信号的频域信息，所以FRFT被认为是一种时频分析的方法。当α从0°旋转到180°，便是一个完整的从时域到频域，再从频域返回时域的过程。

连续FRFT的公式为

(1)

(2)

对Xp(u)做-p阶的FRFT即可得到时域信号，因此FRFT的逆变换形式为

(3)

在实际的信号处理中，大多数都是对数字离散信号进行处理，一般采取Ozaktas的采样型DFRFT算法[6]，如式(4)所示。

(4)

从变换核函数的形式上分析，可以发现当α≠nπ时，变换核函数为一组调频率为cotα的LFM信号[7]。对LFM信号做FRFT处理时，如果某组变换核函数的调频率与LFM信号匹配，则相应变换阶次的FRFT域内则会形成一个冲击函数。地面收到的GNSS信号十分微弱，且淹没在接收机噪声之中，不会在任何变换阶次下形成能量聚集现象，所以可以利用此特性来抑制LFM干扰，一般处理流程如图2所示。

2 FRFT抗LFM干扰算法

2.1 信号的预处理

LFM信号的表示形式为LFM=Aexp(j2πf0t+jπfmt2)，实际中接收到的信号为实信号，为Acos(2πf0t+πfmt2)或Asin(2πf0t+πfmt2)的形式。文献[8]中指出，实信号可以分解为2个复信号之和，如式(5)所示，分解的2个复信号的调频率分别为fm和-fm，具有不同的最佳变换阶次，如果在搜索到的最佳变换阶次下观察FRFT域，只有一个复信号能量被聚集了起来，另一个复信号的能量分散，如图3所示。如果用Hilbert变换对实信号进行处理，得到的解析信号在FRFT域有着较好的能量聚集效果，如图4所示，有利于在FRFT域内对信号做滤波处理。因此，先对实信号做Hilbert变换作为信号的预处理，FRFT域滤波后变换回时域，最后取信号的实部作为输出。

cos(2πf0t+πfmt2)=expj(2πf0t+πfmt2)/2+

expj(-2πf0t-πfmt2)/2

(5)

2.2 基于幅度一阶矩的逐精度计算最佳变换阶次

使用FRFT抑制LFM干扰，计算最佳变换阶次是个很重要的环节。由于FRFT域内存在较多局部最优解，为了保证收敛到全局最优解，大多数文献中还是采用FRFT域二维平面步进式搜索峰值的方法，但这种方法计算量较大，因此有的文献中使用两级搜索峰值的方法以减少计算量[9]。文献[10]中提出了一种将混沌优化算法和多步拟牛顿法结合起来求解最佳变换阶次的方法，但是需要求解FRFT的一阶导数信息，实现起来较为复杂。文献[11]中提出了一种利用幅度一阶矩步进搜索最佳变换阶次的方法。幅度一阶矩的定义如式(6)所示，当其最小时，意味着对应阶次的FRFT域内能量最为集中，可以认定此阶次为最佳变换阶次。

(6)

通过对LFM信号的FRFT域内特性进行分析，如图5所示，幅度一阶矩的最小值对应阶次两侧并不是单调递减，存在一些局部最小值，但总体下降趋势不变。针对这一特点，本文提出了一种基于幅度一阶矩的逐精度求取最佳变换阶次的方法，步骤如下：

1)在[0,2]的区间内，阶次p以0.1为步长做FRFT，记录每个阶次的FRFT域内的幅度一阶矩值，搜索最小值所对应的阶次p，记录为p1。

2)在[p1-0.1,p1+0.1]区间内(若p1为0或2，则分别是[0,0.1]和[1.9,2])，阶次p以0.01为步长做FRFT，记录每个阶次的FRFT域内的幅度一阶矩值，搜索最小值所对应的阶次p，记录为p2。

3)根据所需精度需求，按照步骤2)的方法不断提高搜索精度，直至满足精度需求。

2.3 连续LFM干扰的最佳变换阶次的计算策略

1)对第一段数据使用2.2节所提出的算法搜索最佳变换阶次，记录为p。

2)对下一段数据处理时，首先对这段数据做[p-0.1,p-0.01,p-0.002,p-0.001,p,p+0.001,p+0.002,p+0.01,p+0.1]9个阶次的FRFT，记录下每个阶次的幅度一阶矩。

3)如果p阶次的幅度一阶矩小于其他8个阶次，则认定p为这段数据的最佳变换阶次。如果p±0.001阶次的幅度一阶矩小于其他8个阶次，则将p±0.001确定为最佳变换阶次。如果p、p±0.001都不满足上述条件，则使用2.2节中的方法对这段数据求取最佳变换阶次。

4)将p值更新为当前这段数据的最佳变换阶次。

5)重复2)～4)步操作，直至将所有数据段处理完成。

此方法在处理连续周期LFM干扰时，可以有效减少对多段数据处理时的计算量，而且当干扰的调频率发生变化时，可以及时检测发现，并计算对应的最佳变换阶次。

2.4 自适应阈值的选取

FRFT抗LFM干扰时，FRFT域的阈值选取对算法性能有着很大的影响。目前对阈值的设置方法，可以分为基于统计方法的门限设置方法，如N-sigma法[12]、K谱线法[13]、权值泄露法[14]，同时也有利用 FRFT域内峰值所在位置的窄带带通滤波器实现干扰抑制[15]，但滤波器带宽较难自适应选取。在实际仿真中发现，GNSS接收机抗LFM干扰时，由于GNSS中一般采用较高的采样率，经过2.1节中描述的信号预处理后，FRFT域内能量集中于右半区域，如图6所示。经仿真测试，采用右半区域的值作为阈值计算样本，采用N-sigma算法可以达到较好的效果。在本文仿真中，N取4，一般经过3次迭代滤波后即可实现较好的滤波效果。

3 仿真结果

为了验证算法性能，设计了3个仿真实验。实验一和实验二分别为了验证在连续LFM干扰的调频率不发生变化和发生变化的情况下，算法能否求取正确的最佳变换阶次，并对处理所耗时间进行对比，验证运算量是否得到减少。实验三是为了测试抗LFM干扰算法在GNSS接收机中的性能。

(1)仿真一

本次仿真中，采用BD2 B1频点作为仿真频点。采样率为62MHz，中频为40.098MHz，扩频码速率为2.046MHz，信号带宽为4.092MHz， LFM干扰为周期为1ms的LFM锯齿波信号，LFM干扰调频率为4.092GHz/s，干信比为50dB，仿真数据长度为10ms，单次处理1ms的数据。

对仿真数据进行处理时，计算最佳变换阶次分别采用三种方法仿真(仿真中最佳变换阶次精度取到0.001)。方法一为对每段数据处理前都使用两级搜索峰值的方法，方法二为对每段数据处理前都使用2.2节中介绍的基于幅度一阶矩的逐精度计算最佳变换阶次的方法，方法三为使用2.2节中的基于幅度一阶矩的逐精度计算最佳变换阶次结合2.3节中的连续LFM干扰的最佳变换阶次的计算策略的方法。并且记录了每种方法计算出的最佳变换阶次，以及所耗时长，如表1所示。可以看出本文所提出的方法，可以准确计算出最佳变换阶次，而且在连续LFM干扰存在时可以有效减少计算量，缩短了计算时间。

最后利用GNSS软件接收机对抗干扰前后的数据进行处理，干扰抑制前的捕获效果如图7所示，经过抗干扰处理后的数据的捕获效果如图8所示。干扰抑制前，捕获失败，经过干扰抑制后，捕获成功，验证了算法可以有效地抑制LFM干扰。

表1 不同方法仿真结果对比(仿真一)

(2)仿真二

本次仿真中，采用BD2 B1频点作为仿真频点。采样率为62MHz，中频为40.098MHz，扩频码速率为2.046MHz，信号带宽为4.092MHz， LFM干扰为周期为1ms的LFM锯齿波信号，前5ms内LFM干扰的调频率为4.092GHz/s，后5ms内LFM干扰的调频率为2.046GHz/s，干信比为50dB，仿真数据长度为10ms，单次处理1ms的数据。

对仿真数据进行处理时，如仿真一中的处理方式，用三种方法分别对数据进行处理，统计每种方法计算出的最佳变换阶次，以及所耗时长，如表2所示。可以看出，本文所提出的方法，不仅可以减少计算量，缩短了计算时间，而且在LFM干扰的调频率发生变化时也可以准确计算出最佳变换阶次。

表2 不同方法仿真结果对比(仿真二)

仿真二中由于LFM信号的调频率发生了变化，因此利用本文提出的方法在处理到调频率发生变化的数据段时，便需要重新计算最佳变换阶次，因此时间应该比仿真一长，在仿真结果中也得到了验证。经过软件接收机验证，干扰抑制前的数据捕获失败，干扰抑制后的数据可以捕获成功，验证了算法对LFM干扰抑制的有效性。

(3)仿真三

本次仿真中，采用BD2 B1频点作为仿真频点。采样率为62MHz，中频为40.098MHz，扩频码速率为2.046MHz，信号带宽为4.092MHz， LFM干扰为周期为1ms的LFM锯齿波信号，LFM干扰的调频率为4.092GHz/s，仿真数据长度为1s，单次处理1ms的数据。将处理后的数据输入软件接收机，记录输出的平均载噪比，如图9所示。可以看出，在干信比为55dB左右时，经抗干扰处理后的数据输入软件接收机后，输出了较为理想的跟踪载噪比。当干信比达到66dB时，依然可以捕获跟踪，但此时跟踪载噪比已损失较大。当干信比继续增大时，便无法正常捕获跟踪到卫星信号。

4 结论

1)本文研究了在GNSS接收机中利用FRFT抑制LFM干扰的算法。针对连续LFM干扰，提出了基于幅度一阶矩的逐精度计算最佳变换阶次的方法和利用前段数据的最佳变换阶次辅助计算的策略，经仿真测试可以大大减少抗连续LFM干扰时的计算量，节约了运算时间，是传统的两级搜索峰值方法的运算时间的1/25左右。

2)针对FRFT抑制GNSS接收机中的LFM干扰，对信号的预处理与阈值的自适应选取做了研究与介绍，利用软件接收机验证了算法抑制LFM干扰的有效性，并且测试了算法的极限性能在65dB附近，有着良好的抗LFM干扰性能。对FRFT抗LFM干扰算法的实际应用有着较大的推动作用。

3)本文主要研究了单个连续LFM干扰在调频率不发生变化和发生变化的两种情况下抗干扰算法的实现和验证。由于FRFT本身的特点，在多个LFM干扰的情况下，处理复杂度和难度都会大大提高，这也是下一步研究工作的重点。

4)为了进一步提高抗干扰的能力，将FRFT抗LFM干扰技术与其他抗干扰技术相结合的综合抗干扰技术研究也有着十分重要的意义，也是将来抗干扰技术的发展方向。