基于多项式函数求解的落角约束制导律

马 爽，杨 军，袁 博

(西北工业大学 航天学院，西安 710072)

0 引言

为了提高导弹攻击机场、指挥中心、现代军舰、潜艇、坦克和大型建筑物等目标的杀伤力，不仅希望导弹能够精确打击目标，同时还希望导弹能够以期望的攻击角度击中目标，从而更大地发挥战斗部的毁伤效能[1-2]。此外，侦察(搜索或勘测)无人机(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)航路点的飞行路径也考虑了角度约束问题，高超声速飞行器再入制导也需要考虑落角约束，因此设计满足角度约束的制导律是十分必要的[3]。

针对具有落角约束的制导律设计问题，Zhengdong Hu等[4]利用最优控制理论结合变结构控制理论，通过神经网络训练得出等速趋近律的系数，得到三维空间下的具有落角约束的导弹最优制导律。Yao Zhao等[5]利用有限时间收敛的滑模控制律设计了可全向攻击的满足导弹落角约束的制导律。Chang-Kyung Ryoo等[6]利用最优控制理论得到了带有落角约束的导弹的最优导引律，可较为准确地计算出导弹的剩余飞行时间。张友安等[7]利用Schwarz不等式得到了控制系统为一阶惯性环节或无惯性环节的带落角约束的任意加权制导律。

本文针对攻击特定目标需要有落角约束的情况，利用落角和脱靶量的始端和终端约束，使用多项式函数推导得到了在纵向平面内满足落角约束的制导律的解析表达式。通过选取合适的制导律系数，可以使得导弹的法向过载在攻击目标的过程中逐渐趋向于0，这是利用最优控制理论求得的具有落角约束的制导律不能达到的。

1 弹目相对运动学模型

考虑典型条件为载机发射空对地导弹攻击敌方静止目标，为最大限度地发挥导弹的毁伤效能，采用带有落角约束的制导律攻击该目标。针对该典型条件建立理想情况下的弹目相对运动关系，将导弹和目标均视为纵向对称平面内的质点，忽略周围复杂环境的干扰，如图1所示，导弹在点M处，目标在点T处，参考线为水平面上的基准线。Vm为导弹速度，θ为弹道倾角，θm为目标的速度方向角，am为导弹的加速度，弹目相对距离为r，弹目视线角为q。假定导弹匀速运动，目标静止，导弹运动的加速度垂直于其速度方向，不改变速度大小，只改变速度方向[8-9]，t0为初始时刻，tf为终端时刻，则弹目相对运动学方程可表示为：

(1)

设计具有落角约束的导弹制导律，其目的是要设计合适的制导律使得导弹能够在飞行末端以期望的落角和尽可能小的脱靶量命中目标，需要满足如下的始端和终端条件：

(2)

当导弹的弹道倾角θ不大时，将自变量设为x，对式(1)进行小扰动线性化处理，可以得到非常简洁的弹目相对运动学方程，处理后结果如下

(3)

其中，x为导弹的横向位移，y为导弹的纵向位移，f′代表f对x的导数。

通过将自变量转变为x，可以将原本未知的自变量命中时间tf转化为已知的自变量即命中位置xT，即目标的位置xT，故可用y表示导弹的脱靶量，方便利用终端约束条件对其进行求解。

(4)

带落角约束的导弹制导律不仅要求导弹在终端时刻的脱靶量尽可能地小以保证击中目标，同时也要求导弹在终端时刻的落角为期望落角。要使导弹以预计的落角击中(xf,yf)处的目标，可将导弹的制导指令设为如下的多项式形式[10]

(5)

式中，xgo=xf-x，n为正实数且n≥1,c1、c2为待求制导律参数。

式(5)中用含2个待定参数的多项式函数的形式表示时间可控的导引指令，设计参数c1保证导弹能够击中目标，即脱靶量为0。由式(3)可得，在小扰动线性化的假设前提下，导弹的弹道倾角θ可近似为导弹的纵向位移y关于导弹的水平位移x的一阶导数。因此，将制导指令中的落角约束项设为比脱靶量约束项的阶数低一阶是合理的。故设计参数c2可以保证导弹能够按预计落角击中目标，满足角度约束。求解出c1和c2的解析解，则可用式(5)表示落角约束的制导指令。

2 带有落角约束的制导律

为了保证设计的制导律能够在落角约束的条件下命中目标，首先要确定制导指令式(5)中的参数c2，进而求得c1，最终得到制导指令。

将式(3)写成积分形式同时引入初始条件，可得：

(6)

将式(5)代入式(6)中，化简后：

(7)

式中，cx、cy为与初始条件相关的常值，分别为：

(8)

将始端条件和终端条件式(4)代入式(7)，有：

(9)

(10)

求解式(10)，可得：

(11)

将式(11)代入式(6)，得

(12)

式(12)利用始端和终端约束求得了导弹在初始点处的加速度指令，则对于任意横向位移x，制导指令可写为

(13)

其中，

(14)

可以看出，apn是经典比例导引律的线性近似。

当n=1时，式(13)与利用最优控制理论求得的具有落角约束的导弹制导律的形式相同，此时比例导引律的系数为3。如果用经典比例导引律代替apn，并将制导指令aB转换为以时间为自变量的形式，则式(13)可以写成如下形式

(15)

式中，tgo=tf-t代表导弹的剩余飞行时间。

可以看出，式(15)中含有导弹的剩余飞行时间tgo，将导弹的剩余飞行时间用式(16)近似

(16)

所以，式(15)可以表示为如下形式

(17)

式(17)即为本文求得的基于多项式函数推导得出的落角约束制导律。可以看出，当时，式(17)退化为比例系数为2的比例导引律。

3 仿真结果与分析

在本文的假设前提下，在不同期望落角及不同制导律系数的情况下对文中求得的带落角约束的导弹制导律进行仿真分析。

假设载机发射空对地导弹攻击敌方静止目标，载机发射导弹时导弹位于(0m,10000m)处，导弹最大可用过载为50g，其初速度为V0=240m/s，初始弹道倾角为θ0=0°；目标静止于(10000m,0m)处，导弹的自动驾驶仪简化为一阶惯性环节，时间常数为0.45。

1)设置期望落角为θf=-30°，利用本文所设计的制导律，分别令n=1,2,3， 得到仿真结果如图2～图4所示。

当制导律系数分别取为n=1,2,3时，导弹的脱靶量分别为0.0557m、0.0689m、0.0162m，能够保证精确命中目标。

由图2可以看出，当系数n取不同的值时，导弹都能按照预定的角度击中目标。当n越小时，导弹的弹道曲线越平滑。

由图3可以看出，当系数n取不同的值时，导弹最终都能以期望的落角击中目标，当n越大时，导弹的弹道倾角越快地趋向于期望落角，但其初始时刻偏离期望落角的程度越大。

特别地，由图3和图4可以看出，当系数n>1时，导弹的过载最终可以收敛到0，当n=1时导弹的过载不能收敛至0。通过设置合适的目标函数并应用施瓦茨不等式求解，可以得到初始位置误差、初始方向误差和落角约束作用下的无量纲加速度指令，指令的解析形式表明，只有当系数n>1时，加速度指令在弹道末端才会趋近于0[11]。

2)令制导律系数n=2，设置导弹的期望落角θf分别为-45°、-60°、-90°，对本文所设计的制导律进行仿真，仿真结果如图5～图7所示。

期望落角θf分别为-45°、-60°、-90°时，导弹的脱靶量分别为0.0919m、0.0815m、0.138m，能够精确地命中目标。

由图5和图6可以看出，当导弹的期望落角θf取不同的值时，本文设计的制导律能够使导弹按照预定角度命中目标。

由图6可以看出，当期望落角θf大于初始弹目视线角时，导弹的弹道倾角是单调递增的；不同期望落角θf使得导弹命中目标的时间不同。

由图7可以看出，当导弹的期望落角θf不同时，导弹的初始法向过载差异较大，但最终都能收敛到0。

因此，本文设计的制导律不仅能够使导弹按照期望角度命中目标，同时当制导律系数n>1时，还可使导弹的法向过载逐渐趋向于0，这是利用最优控制理论求得的具有落角约束的制导律不能达到的。

4 结论

本文通过建立纵向对称平面内弹目相对运动学模型，在小扰动线性化假设的前提下，利用落角和脱靶量的始端和终端约束，推导得到满足落角约束的导弹制导律，该制导律是由经典比例导引律以及关于落角的修正项组合而成。仿真结果表明，将导弹的自动驾驶仪简化为一阶惯性环节时，在不同的仿真条件下，该制导律都能按照期望落角击中目标。当制导律系数n>1时，可以使得导弹的法向过载最终趋向于0。