基于时间序列模型的残差控制图在MAP中的应用

丁宸宇， 岳瑞华， 李远东， 顾 凡

(火箭军工程大学，西安 710025)

0 引言

基于MAP(Measurement Assurance Program)的导弹综合测试设备的计量保证方案解决了传统计量中逐级向上溯源以及大型设备的原位计量问题，而且使计量检定过程处于闭环状态，保证了测试的精度与可靠性，满足了导弹时刻遂行作战任务的需求。

在MAP方案中，为了计算核查标准值的统计特性，用核查标准值的标准偏差来表征其随机误差大小，因此需要每两次测量之间的时间间隔足够长，以确保测量的观测值具有完全独立性。只有这样，才能对核查标准值的测量进行统计计算[1]。统计过程控制(SPC)是一种用于监视和管理过程质量的工具集合，控制图是SPC工具箱中最流行、最有效的工具。传统SPC方案都是假设观测结果相互独立，基于这样的假设，休哈特控制图已经广泛应用于各个行业。对于具有自相关现象的数据，传统控制图不能有效地进行工作，会误导错误判断监测状态，而休哈特控制图则会因为上下控制限过窄，产生大量的虚发警报，使控制图的使用效果大为降低[2-3]。文献[4]分析的235个实际案例，分别使用传统控制图方法和考虑了序列相关的控制图方法，前者相较于后者超出控制限的数据点多了584个，并且后者超出控制限的数据点中有33个点是前者没有检测出来的[4]。

自相关过程广泛地存在于各种自动化生产。学术界具有自相关性的数据处理主要有模型和无模型两种方法[5-6]。其中：有模型的处理方式是利用受控数据估计出正确的时间序列模型，求出每一个观测值的残差，用求得的残差建立控制图；无模型方法就是利用基平策略和对数据分组求均值，但是并不能完全消除时序相关，增大样本容量可以降低时序相关，但是会导致失控时平均步长增大，无法及时预警。

现有文献大都是用事先假设的时间序列结合残差控制图来解决自相关过程中出现的控制问题[7-10]，继而进行分析，这显然不符合工程应用实际。就本文中的具体问题来说，时间序列模型是无法事先知道的，必须根据稳定状态下的观测值模拟出时间序列模型。针对以上特点，本文提出依据受控状态下的数据估计出时序模型，根据时序模型求出残差，建立控制图，并与传统休哈特控制图进行对比。

1 控制图基本原理

1.1 休哈特控制图

休哈特控制图对较大的漂移和异常点检测效率较高，而且操作简便，因此得以广泛使用。

xi=μi+εi

(1)

(2)

(3)

当样本大小为1，过程标准差需要通过前后两个观测值的极差来计算，即

(4)

(5)

1.2 控制图判异准则

控制图的主要作用是判断统计过程是否受控，在过程控制当中，可能存在过程处于稳定状态，但是控制图却显示出现异常报警，这被称为第Ⅰ类错误，犯此类错误的概率记为σ；同时也存在另一种错误，即过程控制已经失控，但是控制图却没有发出警报，这类错误被称为第Ⅱ类错误，犯此类错误的概率记为β。一般认为小概率事件不会发生，所以σ的取值特别小，通常取为0.002 7。在此种概率下，“点出界即异常”。犯第Ⅰ类错误的概率减小会导致犯第Ⅱ类错误的概率增大，此时认为只要点在控制图中不是随机排列即判定控制图异常。所以，判断控制图异常的两条准则如下：1) 点出界即异常；2) 点没有出界但排列不随机即异常。

2 残差控制图基本原理

2.1 时间序列模型理论

自回归AR(p)模型是时间序列模型中使用最为广泛的模型，可表示为

(6)

在不失一般性情况下，以一阶自回归AR(1)模型具体阐述残差控制图，即

(7)

式中:μ为过程均值;|φ|<1是模型保持稳定的必要条件。

传统质量控制图应用于自相关过程时，会因监控限过窄导致虚假警报频生[11-12]。考虑使用满足统计量独立性假设的残差控制图。其中过程残差ei的表达式为

(8)

式中，参数μ和φ由统计过程处于受控状态下的样本数据估计得到，而式(8)成立的条件就是这两个参数必须估计准确。

如果在过程中出现异常波动导致过程均值出现偏移，过程均值将会随时间发生改变。式(8)变为

Yi=μ+φ(Yi-1-μ)+εi

Yi=μi+φ(Yi-1-μi-1)+εi=
μi+φYi-1-φμi-1+εi。

(9)

假设在t-1时刻过程均值因异常波动变为μ+δσy，那么变动将发生在i=t-1和i=t之间，残差序列ei为

(10)

(11)

综上，可得残差序列ei为

(12)

分析式(10)、式(11)可知，在均值发生变化后，第一个E(Ri)为δσy,但是自相关过程随之对均值变化做出反应，E(Ri)变为(1-φ)δσy。

由上文知残差ei～i，i，d(μ,σ2)，所以可以用休哈特控制图对残差进行控制，建立残差—休哈特控制图，其满足

(13)

通过残差建立的控制图因数据间已经没有相关性故不再适用一般控制图的判异规则。残差控制图的判异准则仅在超出控制限的情况下才予以报警。

2.2 自相关过程及其辨识

自相关过程也称作序列相关，指的是在自动化条件下采集到的观测值时间间隔太短，导致前后质量特性存在相互依赖。自相关系统的辨识通常采用绘制自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)的方式来甄别。

(14)

式(14)是用来计算自相关系数大小的，其中，θk∈[-1,1]，θk离1越近，表示相关的程度越大。

(15)

3 实验分析

3.1 模型建立和参数估计

从采用MAP定期校准的某大型测控设备的标准28 V电压源记录中截取数据，该标准电压源在受控的情况下，每周对其进行3次检定，共收集到150周的电压表校准观测值，其时序图用Minitab绘制,如图1所示。横坐标表示样本序列，纵坐标表示标准电压观测值大小。从时序图中并不能观测出数据具有明显相关性。

图1 观测值时序图Fig.1 Sequence diagram of observed value

选取前150个数据，根据Minitab软件绘制样本序列的自相关函数(ACF)图和偏自相关函数(PACF)图，以检验样本数据的自相关性,如图2、图3所示。

图2 观测值自相关函数Fig.2 ACF of the observed value

图3 观测值偏自相关函数Fig.3 PACF of the observed value

样本ACF图显示延迟4阶后，自相关系数都收敛到两倍标准差范围以内，且呈余弦函数形式指数衰减到零值上下波动，表明样本数据是一个短期的自相关。鉴于样本数量以及随机性，样本的偏自相关系数不会和理论上的偏自相关系数一样，严格意义上收敛到0，本文的样本偏自相关系数2阶显著不为0,2阶以后近似为0。如果样本的自相关系数在d阶明显超过两倍标准差，而后95%都收敛到两倍标准差范围之内，并且由非零的自相关系数收敛到两倍标准差范围之内且波动十分迅速，则视为截尾，可以判定为PACF截尾。另外，根据ACF拖尾综合判定样本值模型为AR(p)模型。

对样本值做ADF检验，其在含截距项和趋势项以及只含趋势项的检验中，ADF值均小于显著水平5%单位根临界值，所以样本值序列趋势平稳。根据PACF函数图2阶截尾，可以初步判断模型是AR(2)模型，根据最小二乘法从最大滞后阶数4阶开始建立模型，并分别记录AIC，SC和HQ准则值的大小，如表1所示。

表1 信息准则值

上述3个准则的数值越小说明模型越好。从表1中可以看出,AR(2)模型3个准则的参数值最小，所以选择AR(2)模型。具体模型为

(16)

对估计出的模型的残差使用拉格朗日乘数(LM)检验，结果见表2。

表2 LM检验结果

LM的统计量Obs*R-squard对应的P(Prob)值为0.693,在5%的显著水平下不拒绝原假设，即残差序列不存在相关性。

根据估计出的模型绘出残差序列的ACF和PACF，如图4、图5所示。

图4 残差自相关函数Fig.4 ACF of residual analysis

图5 残差偏自相关函数Fig.5 PACF of residual analysis

由图4、图5可以明显看出，自相关系数和偏自相关系数都在两倍标准差内，而且在零值附近波动，所以残差序列可以看作是一个白噪声序列。

综上，通过时间序列估计的模型适当，拟合效果较好。

3.2 分析验证

图6 单值控制图Fig.6 Single value control chart

图7 残差控制图Fig.7 Residual range control chart

由图6可以观察出有4个点明显超出控制限，根据休哈特控制图判断稳定的准则，一个点出界即为异常,判断该过程失控，但是该控制图中的数据是在测控设备处于稳定状态下获得的，所以该控制图发出的警报为虚假警报。观察图7，发现没有点超出控制限，残差控制图的判稳准则是只要没有点出界即处于受控状态，即判断该过程处于受控状态，没有出现虚假警报。结果表明对存在自相关的数据使用残差控制图是有效的。

4 结束语

本文针对采用MAP的大型自动化测试设备获得的校准值，因校准值本身存在自相关性，导致传统休哈特控制图上下间距过小，出现虚假警报过多的问题，提出满足传统休哈特控制图数据间相互独立假设的残差控制图。根据时间序列模型，利用受控状态下的观测值辨识并估计出自回归模型。结合实例计算出数据的残差并绘制残差控制图与传统控制图对比，其结果有力地说明在考虑数据自相关性后，残差控制图有效地减少了非异常原因造成的波动，减少了虚假警报，同时也为其他采用MAP的项目建立过程参数提供了一种可以参考的方法。