多视角 巧突破*—2018年全国I卷理数第16题的解法赏析与探究

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、试题呈现与命题分析

试题已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.

试题分析试题结构非常简单,题干也短,构思独特.以三角函数为背景,考查函数的最值问题.知识方面主要考查三角恒等变换,三角函数性质及其相关运算,均值不等式,导数法等;思想方面主要考查转化与化归思想,换元思想与数形结合思想.综合考察学生逻辑思维、推理及运算等方面的能力.本题作为填空题中的压轴题,是一道具有选拔学生功能的好题.

本文将给出此题的多种解法,抛砖引玉.

二、解法赏析

(1)视角1:均值不等式

解法一由于f(x)=2sinx+sin2x是奇函数,其最大值与最小值是互为相反数,所以只需求f(x)的最大值.因为y=f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),所以

故y的最大值为当且仅当3-3cosx=1+cosx,即时,等号成立.所以f(x)的最小值是

解法二因为设则有

评注利用均值不等式求最值是高中数学常用方法之一,若要用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数,通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造.解法一与解法二都用到了四元均值不等式,此外还用到了三角变换等知识.

(2)视角2:导数法

解法三由于f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期是2π,所以只须考虑x∈[0,2π).当x=π时,f(x)=0;当时,

令f′(x)=0,可得或易知:当x∈时,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函数;当x∈时,f′(x)＜0,即f(x)在上是减函数;当时,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函数.所以当时,f(x)取得最小值于是当x∈R时,f(x)的最小值是

解法四因为f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),由三角函数的万能公式

代入f(x)并化简,可得设令则有令y′=0,则易知:当时,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函数;当时,f′(x)＜0,即f(x)在上是减函数;当时,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函数.于是当时,y取得最小值即时,f(x)的最小值是

评注导数应用十分广泛,利用导数可以解决求函数的单调区间、极值、最值、切线的方程等问题.其中导数法求三角函数的最值往往可以减少计算量,不但过程简单,而且可以增强知识之间的融会贯通,拓展知识面,对提高解题能力和培养创新意识具有重要意义.解法三与解法四用到了三角变换,另外解法四还用到了换元法.

(3)视角3:构造单位圆

解法五如图1,在单位圆中,易知正三角形的面积最大,正三角形面积为设A(-1,0),B(cosx,sinx),C(cosx,-sinx),D(cosx,0),可得即于是所以f(x)的最小值是

图1

评注本解法思路巧妙,过程简捷,明了.构造法作为一种数学思维方法,在处理某些三角问题时,若能充分挖掘题目中潜在的信息,构造与之相关的函数、方程、对偶式、几何图形等数学模型,可使问题迅速获解.

(4)视角4:数形结合

图2

解法六因为f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),设sinx=a,1+cosx=b,则a2+(b-1)2=1,f(x)=2ab.当a=0时,f(x)=0;当0时,问题可转化为当a2+(b-1)2=1时,求2ab的最小值.令k=ab,则如图2,在平面直角坐标aOb中,a2+(b-1)2=1表示以C(0,1)为圆心的圆,是反比例函数.由于是求f(x)的最小值,故只需考虑k＜0.可知当与圆a2+(b-1)2=1相切时,k取得最小值.设与圆a2+(b-1)2=1公共切线为l,切点为因为且直线l与直线PC垂直,故有即点在圆上,故有即联立解得且有k＜0,于是所以2ab的最小值为即f(x)的最小值是

评注本解法采取双换元的方法,利用数形结合的思想,将求最值问题转化为用公切线研究两曲线的相切,思路巧妙,运算量稍大.数形结合思想的应用十分广泛,著名数学家华罗庚先生曾用一首诗完美的阐述了数形结合的价值和本质,即“数形本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休.几何代数统一体,永远联系莫分离.”在运用数形结合解题时,要注意“以形助数,以数解形”,用直观的几何反应抽象的公式,用精确的代数规范几何图形.

(5)视角5:三角形中的不等式

解法七由于f(x)=2sinx+sin2x是奇函数,其最大值与最小值是互为相反数,所以只需求f(x)的最大值,且f(x)的最小正周期是2π,所以f(x)取得最大值时,设y=sinx,x∈(0,π),有y′′=-sinx＜0,故y=sinx在(0,π)是上凸函数.于是由琴生不等式得:f(x)=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)≤当且仅当x=π-2x,即时,f(x)取得最大值.所以f(x)的最小值是

评注解法七的思路来自三角形中的一个常见不等式:若A,B,C是△ABC的内角,则有这个不等式的证明有多种证法,其中利用琴生不等式能较快地证明,此处不再给出证明过程.本解法思路独特,解法巧妙、简单,令人叫绝.另外,此高考题的命题背景是不是来自于这个三角形不等式?值得深思.

三、解后反思

以上的几种解法,从不同的角度出发思考问题,各显神通,这充分体现数学高考题的不拘一格,一道试题往往考查多种能力、多种思想方法;同时,高考试题在命制时充分考虑到考生数学能力的个体差异,大多数试题的解答方法、思维方式不是唯一,一题多解,给考生提供了较大的发挥空间.这样通过方法的选择、解题时间的长短,甄别出考生能力的差异,达到精确区分考生的目的.另外也说明高考要突出考查知识主干,贴切教学实际,扎实基础,重视数学的基本能力与思想方法,所以我们要在平时的学习与训练中重视知识的储备和方法的积累,才有可能缩短思维的长度,达到事半功倍的效果.

四、解后的拓展探究

在解答本题之余,不禁思考:f(x)=2sinx+sin2x有最值,那么形如f(x)=asinx+sin2x的函数(例如y=sinx+sin2x)有没有最值?若有,如何求得?笔者对此作进一步的探索.

求y=sinx+sin2x的最值.

解由于y=sinx+sin2x是奇函数,其最大值与最小值是互为相反数,故只需求最大值.两边平方得y2=sin2x(1+2cosx)2=(1+cosx)(1-cosx)(1+2cosx)2.如果直接用均值不等式,显然取等条件无法满足,于是需要对一些项进行放大或缩小.为了达到这个目的,可用待定系数法进行调整,再用均值不等式.设正数p,q,令

由此可见,改变了函数f(x)=2sinx+sin2x中sinx的系数,题目的解答会变得困难很多,由此可见在高考题的命制时,命题者的考虑是很周全的,试题的运算量与难度控制到位.另外,对于函数的f(x)=asinx+sin2x最值,留给感兴趣的读者研究.