2018年高考全国I卷选做题分析及备考建议

2018-10-12广东省佛山市桂华中学528200王印凡

中学数学研究(广东) 2018年17期

关键词：课标数形坐标系

广东省佛山市桂华中学(528200) 王印凡

一、试题及分析

题目1(2018年高考全国I卷文理科第22题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为:y=k|x|+2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

分析本题考查的是有关坐标系与参数方程的问题,涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向直角坐标方程的转化,以及有关曲线相交交点个数的问题.在解题的过程中,需要明确极坐标和直角坐标之间的转换关系,以及将曲线相交交点个数问题转化为直线与圆的位置关系问题.第(1)问解法单一,属于送分的部分.第(2)问因涉及到分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想,有一定的难度.

题目2(2018年高考全国I卷文理科第23题)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立,求a的取值范围.

分析本题考查的是有关绝对值不等式的解法,以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立的问题,在解题的过程中,需要用零点分段法将其化为分段函数,将不等式转化为多个不等式组来解决,关于第(2)问求参数a的取值范围时,可以应用题中所给的自变量的范围,去掉一个绝对值符号,之后进行分类讨论,求得结果.本题第(2)问对比第22题第(2)问,难度较低.

二、题目1的主要解法

(i)第(1)问解法

解将ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入C2方程ρ2+2ρcosθ-3=0中,得到C2的直角坐标方程:x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4.

(ii)第(2)问解法

解法1由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线,记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2有且只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,点C2到l1所在直线的距离为2,所以或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当故时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,点C2到l2所在直线的距离为2,所以经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当故k=0或时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为

解法2①当k=0时,曲线C1的方程为y=2,

图1

C1与C2有且仅有一个公共点;

②当k＞0时,C1与C2无公共点.

③当k＜0时,射线y=-kx+2(x≤0)与圆C2有两个公共点,要满足C1与C2有且仅有三个公共点,射线y=kx+2(x＞0)必须与C2相切,所以点C2到射线y=kx+2的距离解得或k=0(舍去)综上,所求C1的方程为

解法3①当k=0时,曲线C1的方程为y=2,C1与C2有且仅有一个公共点;

②当k＞0时,C1与C2无公共点.

所以Δ=(4k+2)2-4(1+k2)=0,解得或k=0(舍去)综上,所求C1的方程为

注解法1、解法2、解法3都是将曲线相交交点个数问题转化为直线与圆的位置关系问题来处理,解法2、解法3讨论k,利用数形结合,直观易懂,为大多数学生解法.

①x=0显然不是方程(1)的解.

②当x＞0时(1)式变为

③当x＜0时(1)式变为

要满足C1与C2有且仅有三个公共点必须满足以下条件:方程(2)有两个不等正根,同时方程(3)有两个相等负根;或方程(2)有两个相等正根,同时方程(3)有两个不等负根,即:

解方程组(4)得:无实数解;或

注解法4是利用一元二次方程根的个数来求k的值,本解法学生较难完整列出满足C1与C2的方程所组成的方程组有三个不等解所必须满足的所有条件.

解法5①当k=0时,曲线C1的方程为y=2,C1与C2有且仅有一个公共点;

②当k＞0时,C1与C2无公共点.

③当k＜0时,射线y=-kx+2(x≤0)与圆C2有两个公共点,要满足C1与C2有且仅有三个公共点,射线y=kx+2(x＞0)必须与C2相切,射线y=kx+2(x＞0)的参数方程为(t为参数,把得:(tcosα+1)2+(2+tsinα)2=4,化简得t2+(2cosα+4sinα)t+1=0,Δ =(2cosα+4sinα)2-4=0,解得即所以C1的方程为

解法6①当k=0时,曲线C1的方程为y=2,C1与C2有且仅有一个公共点;

②当k＞0时,C1与C2无公共点.

所以d的最小值解得所以C1的方程为

注解法5、解法6分别利用直线的参数方程、圆的参数方程来解决直线与圆相切问题,解法过于复杂.2018年高考全国I卷对参数方程、极坐标方程的工具性考查没得到很好体现,但仍需继续重视.

三、题目2的主要解法

(i)第(1)问解法

图2

解法2当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|的图象如上:由图象可得,不等式f(x)＞1的解集为

解法3(利用绝对值不等式的几何意义)略.

注含两个或以上绝对值不等式问题的常见解法:

(a)解法1利用零点分段法将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之,体现了分类讨论思想;(b)解法2利用了函数的图象,体现了函数与方程的思想.正确画出函数图象是解题的关键;(c)解法3利用了绝对值不等式的几何意义,体现了数形结合思想.理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.

(ii)第(2)问解法

解法1当x∈(0,1)时,不等式f(x)＞x成立等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|＜1成立.所以-1＜ax-1＜1,即0＜ax＜2.因为x＞0,所以a＞0,所以又x＜1,所以即a≤2,综上,a的取值范围为(0,2].

解法2当x∈(0,1)时,不等式f(x)＞x成立等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|＜1成立.等价于当x∈(0,1)时,(ax-1)2＜1恒成立.等价于当x∈(0,1)时,a2x2-2ax＜0恒成立.因为x∈(0,1),所以a2x-2a＜0,显然a0,从而有即所以所以0＜a≤2,即a的取值范围为(0,2].

解法3当x∈(0,1)时,不等式f(x)＞x成立等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|＜1成立.等价于当x∈(0,1)时,-1＜ax-1＜1恒成立.等价于当x∈(0,1)时,恒成立.设当x∈(0,1)时,y∈(2,+∞),所以0＜a≤2,即a的取值范围为(0,2].

解法4当x∈(0,1)时,不等式f(x)＞x成立等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|＜1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1,原不等式无解,若a＞0,由|ax-1|＜1解得所以故0＜a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].

注解法1、解法2、解法3都是直接利用不等式的性质去绝对值,跳过了分类讨论这一难点.解法4采用分类讨论的方法,难点在于分类的标准不好把握.

有关考生答卷典型错误及原因,请参考本期的另文:刘依舒,刘秀湘.2018年高考数学广东考生试卷分析.中学数学研究[J],2018(9)(上半月).[1]

四、2019年高考数学备考建议

1.研究高考,把握高考命题方向

下面表1、表2是近三年全国课标卷选做题的考点分布表:

表1:近三年全国课标卷“坐标系与参数方程”的考点分布表

表2:近三年全国课标卷“不等式选讲”的考点分布表

从以上两表不难看出,全国高考数学课标卷中选做题考查的方向变化不大,保持了较高的稳定性,课标I卷的选做题更是如此.“坐标系与参数方程”试题第一小问考查曲线在直角坐标系中的普通方程、参数方程和极坐标方程的相互转化,第二小问主要考查直线与圆、椭圆等的综合问题,解题思路相对明确.“不等式选讲”试题主要考查含绝对值的不等式的解法,不等式的性质,由不等式求参数的取值范围.

研究高考除了研究高考试题,作为一线教师,我们还要研究《课程标准》、《考试大纲》与《考试说明》.《课程标准》、《考试大纲》与《考试说明》是高考命题的重要依据.研究高考试题也不要局限于近三年,不要局限于课标I卷.

2.做好选做题选题指导

从2017年起,全国课标I卷的选做题是从选修4-4:《坐标系与参数方程》和选修4-5:《不等式选讲》二个模块中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.根据抽样统计:2017年高考广东有90%多的考生选做第22题,2018年高考第23题相对第22题难度较小,但广东仍有近90%的考生选做第22题.究其原因:

(1)从考试内容上看,《坐标系与参数方程》第(1)小问大部分考查曲线在直角坐标系中的一般方程、参数方程和极坐标方程的相互转化,难度低,易得分.而《不等式选讲》要求学生有较强的分类讨论能力,这些对中下学生来讲是不易掌握的.

(2)不少中学教师过于强调选做第22题,淡化第23题,平时基本上不讲评第23题,甚至有部分学校没有开设《不等式选讲》这门课程.

相对不等式选讲,坐标系与参数方程真的是最容易突破、最容易获得高分的一道题吗?答案是否定的.首先,这要看试题的难度,2018年高考全国I卷第22题的难度明显高于第23题,第22题不仅考查数形结合思想,而且要分类讨论.根据抽样统计:2018年高考全国I卷第22题广东文理考生获得8分以上(含8分)占10.8%、满分10分仅占1.63%,第22题的满分率还低于第18题(圆锥曲线).其次,各个学生的学习能力不同,有的学生擅于学坐标系与参数方程,有的学生擅于学不等式选讲.针对以上情况,笔者建议:(1)除少部分学生(艺术生或数学基础特别差的学生)外,《坐标系与参数方程》和《不等式选讲》这两本书都要开设课程.考虑到艺术生学习文化科时间少、数学基础差的现状,建议只学习《坐标系与参数方程》.(2)高三第一轮复习期间,老师不要过于强调学生选做哪题,由学生根据自己情况去选题,测试中只选做一题,测试后必须完成另一题的解答.这样就可以保证学生对两类题都熟悉,考试更有保障.(3)高三第二轮复习期间,老师可以根据学生的情况指导学生先选哪题,什么时间作答选做题.考虑到选做题的难度接近于第17题,可指导学生在完成第17题(或填空题)后作答选做题.对于数学基础不好的学生建议选做坐标系与参数方程.

3.重视数学思想方法的渗透

数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查.全国课标卷选做题考查较多的数学思想方法有数形结合、分类与化归等.

(1)数形结合的应用

数形结合使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握数学问题的本质,有利于达到优化解题的目的.高考突出考査数形结合的思想,考查考生将数量关系与几何直观相互转化的能力.[2]2018年高考全国I卷文理科第22题比较简单的解法2、解法3就是通过数形结合将曲线相交交点个数问题转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件,求得结果,直观易懂.2018年全国III卷文理科第23题也是通过数形结合求出参数a,b的范围.

(I)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;

(II)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,|PA|的最大值与最小值.

本题第(II)问的难点在于P、A都是动点,不少学生无法写出|PA|的表达式,若学生能画出示意图,则很容易看出PA的长度就是点P到直线l的距离的2倍.

图3

(2)分类与整合的应用

分类与整合就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类问题的结论得到整个问题的解答.高考对分类与整合思想的考查放在了重要的位置,突出考查考生思维的严谨性与周密性.[2]同2016年相比,2017年与2018年广东考生在坐标系与参数方程这一题的得分有所下降,主要原因是试题中出现了含参数分类讨论的问题.“不等式选讲”选做题中的解绝对值不等式也是对分类与整合思想的考查.