关于数学思维显性化的教学实践探索

摘 要：基于传统教学模式对于数学思维方法和过程的可视化场景不清晰，本文提出了数学思维显性化的初中教学思路，分析了师生两方面对于思维显性化难以实现的原因，将不可见的思维路径及思维方法通过图的直观形式呈现出来，在教学实践中通过运用知识网络图、解决一类问题模型图、分析流程图等手段提高学生对数学概念的理解。

关键词：数学思维；显性化；网络图；模型图；流程图

作者简介：于蕾，北京海淀区教师进修学校附属实验学校教师。（北京 100097）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）18-0013-02

在传统教学模式中，知识加工和问题解决的思考过程往往不可见，教师和学生更多关注答案，而忽视答案的生成过程。然而，学生的思维发展并不来源于答案的累积，而来自于生成。答案的累积只是增加学生的感性答题经验，而不能提高学生的理性解题能力，所以当题目或题型一变，学生便无法应对，因为感性经验对不上号。要提高教学效能，教师就必须将强调答案转变为强调答案的生成过程，变依靠感性经验答题为运用理性思考解题，把看不见的思维过程和方法清晰地呈现出来，以便更好地理解、记忆和运用。[1]“思维显性化”在数学问题解决过程中将原本不可见的思维路径及思维方法通过各种直观的方式呈现出来。针对初中数学教学工作，“思维显性化”有以下两方面意义：一是从形象思维到抽象思维的过渡。初中生在解决问题的过程中将自己的思考用语言讲述出来，难免会描述不清楚。通过选择自己擅长的方式形象地表述所思所想，把自己的思维过程层层揭示和展现出来，这对学生的理性思维发展会起到事半功倍的效果。二是便于分享和交流。抽象的思维过程既不易用语言表达，也不易被他人所理解。通过直观的方式将原本不可见的思维路径和思维方法呈现出来，便于在学生间进行分享和交流。

一、概念界定

1. 数学思维

解释1：思维是人脑对客观现实的概括和间接反映，是人脑的基本活动形式，是人的一种高级的心理活动形式。数学思维就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式，也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。

解释2：数学思维是用数学的抽象模型（比如代数，量化等）来思考问题的思维模式。比如形象思维（感性认识强）、抽象思维（逻辑能力强）、逆向思维（概念能力强）、发散思维（想象能力强）等。

解释3：数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按一般思维规律认识数学内容的理性活动。

解释4：数学思维是以认识数学对象为任务，以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。

2. 数学思维能力。《全日制义务教育数学课程标准》《普通高中数学课程标准》中明确指出，数学思维能力主要包括四个方面的内容：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

3. 数学思维显性化。思维过程显性化是在数学问题解决过程中，将原本不可见的思维路径及思维方法通过各种直观的方式呈现出来。

二、“思维显性化”难以实现的原因分析

数学思维能力需要学生能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。一般来说，数学思维能力强的学生，基本体现在联想力和数字敏感度上。[2]但对于初中生来说，难以将不可见的思维路径及思维方法显性化。

1. 教师方面

（1）受中考指挥棒影响。以往的数学考试中，题目的解答结果均具有确定性，因此，在数学教学中只重结论，不重过程，用结论去替代过程或者只重应用，不重形成，甚至有时候教师把新课匆匆带过，省出时间来练习或复习。但从2015年开始，北京市数学中考试题中开始出现只回答解题思路，不需要完整的解答过程的题目，并且这样的开放性问题正在逐年增加。

（2）短时间看不到成果。在教学中要将思维过程直观展现出来，方便大家沟通，需要大量的时间进行各种方式的尝试，需要在课上或课下进行反复的琢磨、沟通交流、修改补充、调整完善，即便这样也可能在一段时间内不能实现最初设定的目标，没有产生较好的效果，因此容易在尝试过程中半途而废。

2. 学生方面

（1）思维惰性。有些学生在遇到难题时懒于动脑，往往会选择等老师讲解或者等以后再解决，久而久之，形成了思维惰性，题目稍微变化就无从下手。

（2）思维惯性。思维的惯性常伴随着思维的惰性而存在。学生在解数学题时，看见术语，便罗列公式，生搬硬套；看见数据，便代入演算，拼凑解答等。观察只停滞在感知表象中，对关键信息感知把握不准，思维指向性模糊，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信息，致使解题思路受阻。

三、促进学生数学思维显性化的教学实践

图是最直观的语言，易读、易懂、易记而且记得牢。因此，实现“思维显性化”的最有效方式便是用“图”的形式把“思维”呈现出来。在教学中实现“思维显性化”的手段主要包括：知识网络图、解决一类问题的模型图、分析流程图，等等。[3]

1. 借助知识网络图促进知识逻辑层次的显性化。数学知识不是孤立存在的，知识间存在着千丝万缕的联系，诸多知识构成一个严谨的知识系统，通过知识网络图的形式能够显性化知识间的逻辑层次，帮助学生有序建立知识网络。初中代数知识包括数、式、方程和函数四个部分，涉及这四个部分的内容分散在教材中的十三个章节。借助知识网络图的形式将诸多概念之间的逻辑层次显性化，可以给学生大致呈现出整个初中的代数体系。在建立知识网络图的过程中，借助知识網络图的直观性，把知识点之间的联系层层呈现出来，并在每一次建立联系的过程中，通过网络图直观地看到之所以能建立联系的本质原因是概念之间存在联系。学生通过老师展示的网络图，在深入理解概念的同时，又可以根据自己的实际需要灵活梳理自己的网络图，从而对知识的认识更加理性。这种呈现方式将“看不见的”的概念之间的联系清晰地呈现出来，使学生在解决综合问题时能灵活运用所学的知识解决问题。通过这种方式将头脑中有共性联系的概念呈现出来，可以帮助学生对概念的理解从感性认识上升到理性认识，实现知识逻辑层次的显性化。

2. 借助模型图促进解题规律的显性化。数学概念的理解最终体现在一道道数学问题上，如果只是简单的机械重复，那学生就不是在知识的海洋中畅快遨游，而是在知识的沼泽地里艰难跋涉。因此，在知识网络图的基础上继续对相关的问题精加工，建立解决一类问题的思考习惯，最终使得解题规律模型化。如学生解决旋转类的几何综合问题和求代数式值问题时，就可以结合知识网络图和对应的习题整理出解题规律。

3. 借助分析流程图促进有序推理的显性化。提到推理，往往就会想到几何证明题，其实不仅代数知识的学习用到推理，生活中处处都有推理。可在实际课堂活动中，学生经常无法表述清楚自己的思路。在教学中只要涉及分析，就尽可能地引导学生用流程图的方式将抽象的思路显性化。运用流程图展示思路的核心是建立已知条件与未知目标相关的模型，这种模型的核心是运用数学定理、公式和法则把变量之间以及变量同目标之间的关系用数学关系式层层表达出来。将数学概念、定理、公式、法则用图的形式直接表述，变量之间以及变量同目标之间的关系就可以用流程图直观展示出来。

课堂教学思维显性化的关键是有没有思维含量？是否做到了以知识为载体来引发学生深层次地思考？思维显性化侧重于知识表征背后的思维规律、思考方法、思考路径，在显性化的过程中强调对思考方法和思考路径的梳理和呈现，借助图示方法及技术对知识进行深加工为效能手段，以学生为主体，教师为主导，师生及学生合作探究为课堂形式，最终水到渠成地实现学生对数学知识的理解。

参考文献：

[1] 王仕岭.如何提高学生的数学思维能力[J].中学生数理化（教与学），2017，（5）.

[2] 李冬胜.数学思维方法[J].太原：山西人民出版社，2010，（4）.

[3] 章水云.问题解决中“思维过程显性化”的若干策略探究[J].中学数学月刊，2006，（7）.

责任编辑 黄 晶