1∶ 2内共振条件下蜂窝夹芯板的两倍周期运动研究*

孙敏 张伟 姚明辉 陈建恩

(1.天津城建大学 理学院, 天津 300384) (2.北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院, 北京 100124)(3.天津理工大学 天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室, 天津 300384)

引言

蜂窝夹芯板被广泛应用于航空航天等领域,由于航空和航天飞行器严格的运行要求和严酷的运行环境,对于蜂窝夹芯板的非线性动力学研究显得尤为重要.Burlayenko和Sadowski[1]研究了蒙皮与芯层的剥离对泡沫和蜂窝夹芯板自由振动特性的影响.黄丽娟等[2]利用双协调自由界面模态综合法研究了周期局域共振蜂窝夹层板弯曲振动的频响特性.Liu等[3]提出了一种分析正方形蜂窝夹芯板弯曲、屈曲和振动特性的半解析方法.Zhang等[4]利用广义Melnikov方法研究了四边简支矩形蜂窝夹芯板的全局分叉和多脉冲混沌动力学.Sekine等[5]研究了蜂窝夹芯板的振动特性,文中将蜂窝芯层考虑为具有剪切变形的厚板,复合材料蒙皮考虑为薄板.Yu和Cleghorn[6]研究了简支矩形蜂窝夹芯板的自由振动,分别运用了经典薄板理论、Reissner-Mindlin理论和Reddy三阶剪切变形理论建立了蜂窝夹芯板的力学模型.Li和Zhu[7]运用改进的Reddy三阶剪切变形理论研究了蜂窝夹芯板的自由振动,对Reddy三阶剪切变形理论引入了剪切修正因子.Alijani等[8]实验研究了蜂窝和泡沫夹芯板的非线性振动特性,在定幅激励情况下,通过缓慢的上下扫频过程获得了夹芯板的非线性频率响应曲线.

Melnikov方法在研究非线性系统的动力学特性中起到了很重要的作用,郭翔鹰等[9]利用高维Melnikov方法研究了复合材料层合板的混沌运动.Chicone[10]结合Lyapunov-Schmidt退化方法和次谐Melnikov理论研究了高维非线性系统的周期解.Boinn[11]将谐波平衡法与次谐Melnikov理论相结合研究了耦合Van der Pol 振子次谐轨道的分叉.Yagasaki[12]利用次谐Melnikov理论研究了一类退化共振情况下非线性系统的周期解.Sun等人[13]利用次谐Melnikov理论,研究了压电复合材料层合板的周期解.

本文首先利用周期变换和Poincaré映射推广四维非线性非自治次谐Melnikov理论,然后利用该理论研究蜂窝夹芯板的周期运动,理论上给出系统存在2倍周期运动的参数域,最后利用数值模拟验证理论的正确性.

1 四维次谐Melnikov方法

本节中,研究如下一类四维非线性非自治系统的周期运动:

(1)

其中:

x=(x1,x2)∈R2,y=(y1,y2)∈R2,

对未扰动系统作如下假设:

A1. 每个方程都有一族周期轨道,其表达式分别为:L1={xh1|H1(x1,x2)=h1} 和L2={yh2|H2(y1,y2)=h2},其中hj∈K,K为开区间,j=1,2.

A2.xh1(t) 和yh2(t) 关于h是Cr的,其周期记为T1和T2.

假设m0为m1和m2的最小公倍数,我们研究由未扰动系统的一族闭轨经过小参数扰动后在其附近产生周期为m0T的周期振动问题.

对系统(1)引入如下周期变换:

(2)

将方程(2)带入系统(1)可得到如下极坐标形式的四维非线性非自治系统:

(3)

其中:

F1=DH1(G)g,F2=DH2(P)f

(4)

令h=(h1,h2),θ=(θ1,θ2),在相空间R2×T2×S1中定义如下形式的横截面:

∑={(h,θ,φ)∈R2×T2×S1|φ=0}

(5)

其中T2=S1×S1为二维环面.

对系统(3)定义如下Poincaré 映射:

Pε: (h(0),θ(0))→(h(T),θ(T))

(6)

其中:

(h(t),θ(t),ωt)=(h1(t),h2(t),θ1(t),θ2(t),ωt)为系统(3)的解.

因此m0次复合映射Pεm0为:

Pεm0:(h(0),θ(0))→(h(m0T),θ(m0T))

(7)

其中m0为m1和m2的最小公倍数.系统(3)的周期解的存在性等价于Pεm0的不动点的存在性.经计算可得:

Pεm0: (h(0),θ(0))→(h(m0T),θ(m0T))

(8)

其中:

(9)

我们可得到如下四维非线性系统周期存在性判定定理[14]:

(10)

并且下列两组条件之一成立,即:

(11)

(12)

2 蜂窝夹芯板的周期运动

本节采用上述理论研究蜂窝夹芯板的两倍周期运动.蜂窝夹芯板受到x方向的面内均布载荷与横向均布载荷联合作用.夹芯板的长、宽、高分别为a、b和H,直角坐标Oxy位于夹芯板的中性面内,z轴向下,设板内任一点沿x、y和z方向的位移分别为u、v和w,沿x方向作用的面内载荷为p=p0-p1cosΩ2t,横向载荷为f=F(x,y)cosΩ1t.蜂窝夹芯板分为三层,上下蒙皮是相同的各向同性材料,蒙皮层厚度为hf,芯层为正六角形蜂窝构型,蜂窝芯轴向为坐标z方向,蜂窝芯厚度为hc.

利用Hamilton原理和Galerkin方法,我们得到如下两自由度非线性非自治动力学方程[15]:

α2w1w22-α3w12w2-α4w13-α5w23

=α6F1cosΩ1t

(13a)

β2w12w2-β3w1w22-β4w23-β5w13

=β6F2cosΩ1t

(13b)

对方程(13)引入如下变换:

(14)

方程(13)可转化为如下形式:

c1x2-f1x1cosΩ2t+F1cosΩ1t)

c2x4-f2x3cosΩ2t+F2cosΩ1t)

(15)

其中:

εf2→β7P1,εF2→β6F2

(16)

考虑如下共振关系:

Ω1=Ω2=2ω1,ω1=ω,ω2=2ω

(17)

因此,我们可得:

(18)

利用改进的四维次谐Melnikov方法,可得蜂窝夹芯板在1∶2内共振情况下的次谐Melnikov函数为:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

另一方面,我们有:

(24)

(25)

3 数值模拟

我们应用四阶Runge-Kutta法对方程(15)进行数值模拟来验证横向与面内载荷联合作用下蜂窝夹芯板存在2倍周期轨道,如图1和图2所示.

图2 参数P2下蜂窝夹芯板的两倍周期运动Fig.2 Period-2 motion of the plate with P2

图(a)在平面(t,x1)上的波形图,图(b)表示在平面(x1,y1)上的二维相图,图(c)表示在空间(x1,y1,x2)上的三维相图.数值模拟所选参数均满足理论得到的条件.

图1表明蜂窝夹芯板存在两倍周期运动,参数为:

F1=F2=600,f1=100,f2=50,c1=3,

c2=0.9,ω1=10,ω2=20, Ω1=Ω2=20,

α2=-2.32,α3=1.7,α4=-2.3,α5=1.336,

β2=-20.26,β3=15.7,β4=-30.28,β5=12.5,

x10=x20=0,y10=0.01,y20=0.1,此组参数记为P1.

图2表明蜂窝板也存在两倍周期运动,其参数为:

F1=F2=600,f1=100,f2=80,c1=6,

c2=2.1,ω1=10,ω2=20,Ω1=Ω2=20,

α2=-5,α3=2,α4=-3,α5=2.5,

β2=-10.26,β3=5.7,β4=-30,β5=22.5,

x10=x20=0,y10=0.01,y20=0.1,此组参数记为P2.

5 结论

本文首先推广了四维次谐Melnikov方法,我们引入周期变换将系统化为极坐标形式的非线性非自治系统,然后对该系统建立相应的Poincaré映射,通过对映射不动点的研究得到一个四维次谐Melnikov向量函数,通过对该向量函数零点的研究,我们得到一类四维非线性非自治系统周期运动的存在性判定定理.然后,利用改进的方法研究了蜂窝夹芯板在1∶2内共振情况下的周期运动.我们利用定理计算得到次谐Melnikov向量函数,同时获得系统存在两倍周期运动的参数条件.最后,利用数值方法得到蜂窝夹芯板的二维、三维相图和波形图,验证了理论分析的正确性,研究结果丰富了蜂窝夹芯板的非线性动力学研究.