Moser-Trudinger不等式及其极值函数的存在性

李嘉禹，杨云雁，朱晓宝

(1.中国科学技术大学 数学科学学院，合肥 230026；2.中国科学院 数学与系统科学研究院，北京 100080; 3.中国人民大学 数学系，北京 100872)

Moser-Trudinger不等式作为临界情形的Sobolev嵌入定理，是由著名数学家Trudinger[1]在1967年首先得到的.设Ω是n中的光滑有界区域，是在范数

(1)

称不等式

∀0<α≤αn

(2)

为Moser-Trudinger不等式.

Carleson等[3]发现了一个令人惊讶的事实：在Ω是单位球的时候，存在函数能达到(2)式中的上确界，即它的极值函数存在，而这个事实对次临界的Sobolev不等式是不对的.随后，Flucher[4]和Lin[5]分别证明了对2维和n维的一般区域，(2)式的极值函数也存在.

论文旨在介绍Moser-Trudinger不等式及其极值函数存在性的相关进展.第一部分，介绍紧黎曼曲面上的Moser-Trudinger不等式及其应用；第二部分，介绍一般维黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式；第三部分，介绍一类改进的Moser-Trudinger不等式；最后，介绍带奇异位势的Moser-Trudinger不等式.

1 紧黎曼曲面上的Moser-Trudinger不等式及其应用

由不等式(1)和紧黎曼曲面上的单位分解，可得定理1.

定理1[1]设(Σ,ds2)是紧黎曼曲面，则存在c>0，使得不等式

成立.

由Cauchy不等式，有定理2.

其中：CΣ是只与(Σ,ds2)有关的正的常数.

1.1 预定高斯曲率问题

(3)

对(3)式两边在Σ上积分，可得

(4)

因而，可将对方程(3)的求解分为χ(Σ)<0,χ(Σ)=0和χ(Σ)>0这3种情形.下面介绍变分方法和Moser-Trudinger不等式在这3种情形中的应用.Berger[6]通过寻找泛函

(5)

(6)

由定理2知，泛函J(u)是弱下半连续的.为了清楚泛函J(u)是否满足强制性条件，Moser计算了定理1中的最佳常数，证明了定理5.

定理5[2-8]在标准球面(S2,g0)上，成立

和

作为定理5的直接推论，有定理6.

其中：CS2是只与(S2,g0)有关的正的常数.

由定理6(i)，泛函J(u)有下界.由定理6(ii)知，泛函J(u)在空间

{u∈W1,2(S2,g0):u(x)=u(-x)a.e.x∈S2}

中满足强制性条件.由经典的变分理论，有定理7.

定理7[8]设K是S2上的光滑函数，满足K(x)=K(-x),∀x∈S2且存在x0∈S2，使得K(x0)>0，则方程(3)有光滑解.

更多的关于Nirenberg问题的研究可参见文献[9-12].

1.2 Kazdan-Warner问题

设(Σ,ds2)是一个紧黎曼曲面，为方便起见，约定它的面积是1.设h(x)是(Σ,ds2)上的光滑函数.Kazdan等[7]问：对h加什么条件，可使得方程

Δu=8π-8πheu

(7)

有解.这个问题被称为Kazdan-Warner问题，它可以看成是Nirenberg问题的推广.当(Σ,ds2)不是球面或实投影平面时，它上面不再有常正曲率的背景度量，因而此时的方程(7)不是预定高斯曲率问题，但它会出现在Chern-Simons Higgs理论中[13-14].

(8)

的临界点.

Ding等首先证明了(8)式中定义的泛函J(u)有下界，这也将S2上的Moser-Trudinger不等式——定理6(i)推广到了一般的紧黎曼曲面上.

其中：CΣ是只与(Σ,ds2)有关的正的常数.

为了证明泛函J(u)有下界，文中考虑了J(u)的扰动泛函

其中：ε>0.

由变分的直接理论，泛函Jε(u)在某个uε处达到它的极小值.现在有两种可能：

(i)uε在W1,2(Σ)中有界；

(ii)uε在W1,2(Σ)中无界.

对于第一种情形，容易验证存在某个u0∈W1,2(Σ)，使得泛函J(u)在u0处达到极小.当然，此时u0就是方程(7)的解.

文中主要分析了第二种情形，称为uε爆破.经过细致分析，最终计算出在uε爆破的条件下，有

(9)

其中：A(p)是格林函数展开式中的常数项.接下来，在一个几何条件下构造了一列φε，满足J(φε)

定理9[15]设K是(Σ,g)的高斯曲率，如果

Δlogh(x)>-(8π-2K(x)),∀x∈Σ,

则泛函J(u)可以达到极小，方程(7)可解.

上述方法是在经典的变分理论(满足弱下半连续和强制性条件的泛函，可以在自反的巴拿赫空间中达到它的下确界)的强制性条件不满足，泛函极小化序列爆破的情形下，使用扰动泛函分析出泛函的下确界；然后再构造爆破序列，使得爆破序列上的泛函值小于之前得到的下确界，进而说明爆破不会发生，泛函达到极小，对应的方程可解.该方法被多次应用于求解物理与几何中带临界指标的方程中.参见文献[16-24].

定理10[25]设K是(Σ,ds2)的高斯曲率，h是Σ上的光滑函数，满足：h≥0,h≢0，如果

Δlogh(x)>-(8π-2K(x)),∀x∈Σ{h(x)=0},

则泛函J(u)可以达到极小，方程(7)可解.

2 一般维黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式

2.1 紧黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式

紧黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式是Aubin[26]首先提出， 并由Cherrier[27-28]证明了次临界的情形，最终Fontana[29]计算出了它的最佳常数.

定理11[26-29]设(M,g)是n维紧黎曼流形.对任意的0<α≤αn，成立不等式

(10)

其中：αn是最佳常数，即当α>αn时，不等式(10)不再成立.

Li在文献[30-31]中使用变分的方法和爆破分析研究了不等式(10)的极值函数，得到定理12.

2.2 完备非紧黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式

定理13[32-35]对任意的0<α≤αn，有

(11)

其中：αn是最佳常数.

关于Moser-Trudinger不等式(11)的极值函数，有定理14.

定理14[36-37](i) 当n=2时，存在某个α0>0，使得当α∈(α0,α2]时,Moser-Trudinger不等式(11)的极值函数存在;当α>0很小时,Moser-Trudinger不等式(11)的极值函数不存在.

(ii) 当n≥3时，Moser-Trudinger不等式(11)的极值函数存在.

定理15[38]对任意的0<α≤αn，有

(12)

其中：αn是最佳常数.

在一般的n维完备非紧的黎曼流形(M,g)上，记

定理16[39]如果(M,g)的Ricci曲率有下界，单射半径有一致的正下界.那么对任意的0<α<αn，存在某个τ>0，使得不等式

(13)

成立，其中：αn是最佳常数.

当α=αn时，Moser-Trudinger不等式(13)是否成立，目前并不知道.该不等式的极值函数问题目前也不清楚.

3 一类改进的Moser-Trudinger不等式

设D是2中的有界区域，记有定理17.

定理17[40](i) 对任意的0≤α<λ1(D)，有

(ii) 对任意的α>λ1(D)，有

Yang[41]使用变分方法和爆破分析，将定理17分别推广到了高维和紧黎曼曲面的情形，有定理18.

定理18[41]设Ω是n中的光滑有界区域，n≥3.记

有

(i) 对任意的0≤α<λ1(Ω)，有

(14)

(ii) 对任意的α>λ1(Ω)，有

(iii) Moser-Trudinger不等式(14)的极值函数存在.

定理19[42]设(Σ,ds2)是一个紧黎曼曲面.记

有

(i) 对任意的0≤α<λ1(Σ)，有

(15)

(ii) 对任意的α>λ1(Σ)，有

(iii) 当α>0很小时，Moser-Trudinger不等式(15)的极值函数存在.

设B是2中的单位圆盘，H是在范数

下的完备化.使用变分的方法和爆破分析，Wang等[43]证明了定理20.

定理20[43]不等式

的极值函数存在.

定理21[44]对任意的0≤α<λ1(B)，不等式

的极值函数存在.

Tintarev[45]考虑了一类更广的Moser-Trudinger不等式，证明了定理22.

定理22[45]不等式

(16)

成立，其中：V(x)>0是一类函数，它包含了定理20和21中的函数作为特例(具体见原文).

当V(x)≡α,0≤α<λ1(D)时，有定理23.

定理23[46]对任意的0≤α<λ1(D)，不等式

(17)

的极值函数存在.

定理24[46]当0≤α<λl+1(D)时，不等式

的极值函数存在.

在紧黎曼曲面上，也有类似结果，有兴趣的读者可参见原文.

4 带奇异位势的Moser-Trudinger不等式

假设0∈Ω，Adimurthi等[47-48]将Moser-Trudinger不等式(2)和(11)分别推广到定理25、26带奇异位势的情形.

定理25[47]设0<β<1，对任意的0<α≤αn(1-β)，有

(18)

定理26[48]设0<β<1, 对任意的0<α≤αn(1-β)，有

(19)

定理27[49]当n=2时，Moser-Trudinger不等式(18)的极值函数存在.

定理28[50]Moser-Trudinger不等式(19)的极值函数存在.

至于n≥3时，Moser-Trudinger不等式(18)的极值函数是否存在目前尚不清楚.最近，作者用变分的方法和爆破分析得到了一类改进的带奇异位势的Moser-Trudinger不等式.

定理29[51]对任意的0<β<1和任意的0≤α<λ1(D)，不等式

的极值函数存在.

定理30[51]对任意的0<β<1和任意的0≤α<λl+1(D)，不等式

的极值函数存在.