NSD序列的Chover型重对数律

黄 辉, 陆冬梅, 胡 涛

(1. 长春理工大学 光电信息学院, 长春 130022; 2. 首都师范大学 数学科学学院， 北京 100048)

1 引言与主要结果

定义1[1]如果对任意的x=(x1,…,xn)∈n,y=(y1,…,yn)∈n, 有

φ(x∨y)+φ(x∧y)≥φ(x)+φ(y),

定义2[1]对于随机向量X=(X1,X2,…,Xn), 如果满足

(1)

研究表明， 由NSD推不出NA(negativelyassociated)[1], 但由NA可以推出NSD[2], 即NSD序列是包含独立和NA序列在内的一类更广泛的相依序列. 目前， 关于NSD序列的研究已有很多成果[3-9].

定义3[10]对于随机变量X, 如果

(2)

则称X为α>0重尾的. 其中A(x)是指数为α的正则变化函数, 即

∀t>0.

令B(x)=inf{y:A(y)≥x}为A(x)的广义逆函数, 则B(x)是指数为1/α的正则变化函数. 易推得式(2)等价于

(3)

显然X为α重尾的比X是特征指数为α的随机变量条件更广泛. 下面假设X为α重尾的,B(x)定义如上.

目前, 关于Chover重对数律的研究已有很多结果[10-18], 但NSD序列的Chover重对数律研究尚未见文献报道, 本文讨论NSD序列的Chover重对数律, 主要结果如下.

注1定理2～定理4不仅将文献[15]中结论推广到NSD序列的情形, 且定理2～定理4所得的结论更具普适性.

注2定理3即为NSD序列情形下的Chover重对数律, 将文献[10]中定理1的部分结果推到NSD序列的情形.

2 主要结果的证明

引理1[10]假设X为α>0重尾的,B(x)如上定义, 则对于任意的x>0, 当p>α时,

当0

其中c1>0,c2>0均不依赖于x.

引理2[1]如果(X1,X2,…,Xn)是NSD的,g1,g2,…,gn均为非降函数, 则(g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn))也是NSD的.

引理4[4]设{Xi,i≥1}是NSD序列, 则存在正常数C, 使得对任意的≥0,n≥1, 有

2.1 定理2的证明

采取循环证法1)⟹2), 2)⟹3), 3)⟹1). 记an=B(nf(n)).

Ⅰ) 证明1)⟹2). 首先考虑0<α< 1, 由Chebyshev不等式、 式(3)及引理1可得

其次考虑α≥1. ∀i≥1, 令

由EXi=0并结合引理1, 可得

从而当n充分大时, 对∀ε>0, 有

中国传统道家思想强调无为而治，为数学课堂留白艺术提供了哲学基础，留白时看似无为却有所为．美学中常追求以虚衬实、虚实相生的境界，则为数学课堂留白艺术提供了美学基础．除此之外，“等待时间”理论和参与者知识观也为数学课堂留白艺术提供了丰富的理论基础．

当α≥2时, 结合Jensen不等式, 类似上述推导可知

其中q>α≥2. 结合式(4)～(6)可知

1)⟹2)证毕.

Ⅱ) 2)⟹3). 因为任取正整数n, 总存在非负整数k, 使得2k≤n<2k+1, 且存在t∈[0,1), 使得n=2k+t, 则由2)可得

进一步有

注意到B(x)是指数为1/α的正则变化函数, 因此

2)⟹3)证毕.

Ⅲ) 3)⟹1). 由3)及an=B(nf(n))、Xn=Sn-Sn-1、f(x)>0在x→∞时是拟增的, 得

Ⅳ) 证明4)⟹5). 任取正整数M, 由式(3)知

(7)

这与式(7)矛盾. 因此

从而

注意到B(x)是指数为1/α的正则变化函数, 于是可知

即5)成立.

这与4)矛盾. 因此

综上, 定理2证毕.

2.2 定理3的证明

利用定理2和式(3), 类似文献[12]中定理2的证明可得结论.

2.3 定理4的证明