解散射问题的一种各向异性优化PML方法

杨 孝 英

(长春工业大学 基础科学学院, 长春 130012)

1 引言与预备知识

目前, 利用完美匹配层(PML)方法求解散射问题的研究已有许多结果[1-3]. 文献[1-2]给出了求解散射问题各向异性的PML方法. 由于散射问题优化PML方法的计算不依赖PML层的厚度, 文献[4-7]给出了求解散射问题的一种优化PML方法. 本文受文献[1]中各向异性PML方法的启发, 考虑求解时谐散射问题的一种各向异性优化PML方法.

考虑如下散射问题:

其中:r=|x|; f∈(H1(Ω))′的支集在B(R0)={x∈2: |x|≤R0}内, (H1(Ω))′是H1(Ω)的对偶空间; ΓD为有界域D⊂2的边界; g∈H1/2(ΓD). 假设波数k≥0为常数. 令D包含在矩形区域

令a: H1(Ω1)×H1(Ω1)→为下列半线性形式:

(7)

则散射问题(1)-(3)等价于: 对给定的f∈(H1(Ω1))′, g∈H1/2(ΓD), 求u∈H1(Ω1), 使得在边界ΓD上u=g, 且

(8)

(9)

2 各向异性优化PML方法的构造

(10)

其中:sgn(·)为符号函数; 对任意的t∈, (t)+∶=max{0,t}.x与B1之间的最短距离定义为

定义如下PML介质特征:

α(t)=η(t)+iσ(t),η(t)=1+ζσ(t),

其中: σ为介质参量, σ(0)=0; ζ≥0为常数. 类似文献[1], 假设当t≥0时, ζ≥1. 当t≥r0>0时, σ(t)=σ0, 其中σ0≥0为常数, r0

(11)

x=P(x)+r(x)n(x).

(12)

(13)

其中

(14)

其中m≥2为常数.

证明:

3 优化PML方法的收敛性

外问题(4)-(6)的解ξ满足

(15)

其中: λ=Tχ∈H-1/2(Γ1)为ξ在Γ1上的Neumann迹; ΨSL,ΨDL分别为单双层位势:

这里G(x,y)为Helmholtz方程的基本解:

定义复距离

令

因此对任意的χ∈H1/2(Γ1), PML扩展E(χ)(x)定义为

(16)

·(A(x)在Ω2内,

(17)

(18)

其中A=J(x)DF-1(x)DF-T(x),J=det(DF(x)),DF为Jacobi矩阵.

引理1[8]令z1=a1+ib1, z2=a2+ib2, a1,b1,a2,b2∈, 使得则

(19)

其中

(20)

证明: 由式(10),(13)可得

又由定理1可得式(19). 证毕.

引理3存在与k,ε0无关的常数C>0, 使得

其中γ定义如式(20).

由引理3, 可得:

引理4对任意的f∈H1/2(Γ1), 令E(f)为式(16)定义的PML扩展. 则存在与k,ε0无关的常数C>0, 使得

其中: γ定义如式(20)； L=max{L1,L2}.

·(Aζ)+k2Jζ=0, 在ΩPML内,

(25)

(26)

(27)

(28)

由引理4, 可得:

引理5对任意的f∈H1/2(Γ1), 有

其中: C>0为与k,ε0无关的常数; L=max{L1,L2}; γ定义如式(20).

(29)

其中: m≥2; L=max{L1,L2}; C>0是与k,ε0无关的常数; γ定义如式(20).

证明: 由式(8),(27), 利用分部积分可得

再由inf-sup条件(9)和引理5即得式(29). 由式(29)可得

由定理2可见, 本文构造的各向异性优化PML方法, 只要ε0充分小, 优化的PML解指数就收敛于原问题的解, 且PML解不依赖PML层的厚度.

4 数值实验

图1 区域Ω1中精确解的实部Fig.1 Real part of exact solution in region Ω1

图2 当PML层厚度d1=d2=1时, 在边界Γ1上PML解和精确解误差的实部 Fig.2 Real part of error between PML solution and exact solution as thickness of PML layer d1=d2=1 on boundary Γ1

图3 当PML层厚度d1=d2=1.25时, 在边界Γ1上PML解和精确解相对误差的实部 Fig.3 Real part of relative error between PML solution and exact solution as thickness of PML layer d1=d2=1.25 on boundary Γ1

当PML参数ε0分别取0.01和0.001时, 在边界Γ1上的相对误差分别为1.7×10-2,2.4×10-3. 因此当PML参数ε0足够小时, 本文构造的各向异性的优化PML方法是解时谐散射问题的一种有效数值计算方法.