轮廓仪非球面接触测量的核回归误差补偿算法*

贾 宁

(杭州职业技术学院 信息工程学院，杭州 310018)

0 引言

非球面元件的表面具有更大的自由度、灵活性，矫正能力相当于多枚球面镜片，有利于简化系统结构，可以在保证精度和性能的前提下，提高系统的视场及相对孔径[1-2]。近年非球面的制造工艺和检测技术快速发展，但由于非球面元件的检测精度和难度要远远大于平面和球面，导致其应用范围远不如平面和球面[3-4]。

在非球面元件参数检测方面，国内外很多学者进行了深入的研究，根据检测手段的不同，主要分为接触式和非接触式。贺俊等[5]使用红外干涉仪测量非球面面型，测得非球面面形偏差为1.20μm(PV)。文献[6]使用计算全息图方法，实现了离轴非球面λ/100的检测精度。文献[7]使用子孔径拼接干涉法测量非球面，PV值的测量精度约为0.5λ。但是非接触式测量方法通常适用于精密抛光阶段的非球面检测，而接触式测量具有更高的适用性，目前非球面在细磨与粗抛光阶段的主要使用接触式测量提高测量效率。在非球面接触式测量方面，李杰等[8]使非球面面形测量中测量点均匀分布来提高测量精度。程颢波[9]通过补偿精研磨阶段非球面面形测量误差，有效的提高了非球面精研磨的精度，缩短了进入光学抛光的周期。林长青等[10]使用三坐标测量机解决了离轴非球面精磨阶段难于检测的问题，将非球面元件PV值精磨加工到0.0033mm。

然而，上述非球面接触式测量方法大多集中在检测方法方面，在一定程度上可以提高非球面的测量精度，但是对于接触式传感器触头的研究相对较少。文献[11]研究了接触式传感器测头对测量精度的影响，但研究对象一般为坐标测量机，针对非球面测量的研究较少。本文针对非球面接触测量中长度计接触测量力展开研究，通过对测头和测杆进行受力分析，得到接触测量力和长度测量误差之间的关系。使用核回归算法拟合非球面测量数据，对由接触测量力引起的测量误差进行补偿。并将该理论应用于抛物面接触测量中，进行金属抛物面工件的曲率、曲面常数、表面轮廓和粗糙度实验，验证基于核回归测量力误差补偿方法可以有效的提高轮廓仪非球面元件接触式测量的测量精度。

1 长度计接触测量力分析

接触式轮廓仪一般通过长度计测量非球面工件矢高，拟合非球面工件的矢高，得到非球面工件的曲率、曲面常数、表面轮廓和粗糙度等参数。由于接触测量力的影响，长度计测头会产生局部接触形变，长度计测量杆会产生弯曲形变，极大的降低了轮廓仪长度计的矢高测量精度。为了补偿非球面接触测量中由接触测量力引起的误差，分别对长度计测头局部接触形变和长度计测杆弯曲变形进行分析和建模。

1.1 局部变形模型

非球面接触测量的接触形式为球对球的接触，如图1所示。若长度计测球半径为r1，被测非球面工件的曲率半径为r2，由于被测非球面元件的曲率半径r2>>r1，可以将其视为平面，球对球接触所引起的局部形变误差可以近似为球对平面接触所引起的误差，通过Hertz方程[12]可知相对曲率半径r为：1/r=1/r1+1/r2，当r2>>r1时：r=r1。

图1 测球与被测件局部接触变形示意图

由Hertz方程可知接触面半径c和局部接触变形总量为：

(1)

(2)

(3)

其中，c为接触面半径；δc为局部接触变形量；F为接触测量力；r为红宝石测球半径；E1、E2为长度计接触测头与被测件弹性模量；μ1、μ2为接触测头与被测非球面工件的泊松系数，θ为被测非球面元件斜率。

由式(2)和式(3)可知，随着非球面工件斜率的增加，接触变形量也逐渐增大。本文选用轮廓仪长度计接触测头为红宝石材质，弹性模量E1=375(GN/m2)；泊松系数μ1=0.22；当被测非球面元件为铸铁材质时，其弹性模量E2=155(GN/m2)；泊松系数μ2=0.25。红宝石测球半径R1=1.6mm，长度计的接触测量力F=3.2N，代入上述参数得出局部接触变形量δc与非球面斜率间的关系如图2所示。

图2 局部变形量与接触测量力关系

1.2 测杆弯曲变形模型

在非球面的测量过程中，长度计沿非球面的母线方向移动，接触测头垂直于XY平面，即被测非球面工件表面法线方向存在夹角，测杆在接触测量力的作用下会产生弯曲变形，使得测量出坐标位置偏离了理论坐标位置，会引入较高的矢高测量误差。长度计测杆弯曲变形如图3所示。

图3 长度计测杆弯曲变形

图中L为测杆的长度，D为测杆直径，Fy和F分别是Fb在XY平面和XZ平面的投影，θ为接触测量力F与Y轴的夹角。在测量力F的作用下，测杆发生弯曲变形，在Y和Z方向分别产生横向位移δy和轴向压缩位移δz：

(4)

(5)

(6)

式中，E为测杆的弹性模量；J为测杆截面的惯性力矩。L=80mm为长度计测杆长度，长度计测杆直径D=3mm，测杆材质为合金，E=186GN/m2。带入公式分别得到长度计测杆的轴向形变δz=0.6μm，以及接触测量力对测杆横向位移与轴向位移影响与非球面斜率间的关系如图4所示。

图4 接触测量力对横向形变关系

由式(4)和式(5)可得：

(7)

根据式(7)及图4可知：长度计测杆在非球面斜率为45°时横向变形是轴向压缩变形的2000倍，对于大小为3.2N的接触力产生的横向位移误差约为100μm。因为轮廓仪长度计为增量式传感器，而轴向压缩位移δz仅为恒定的0.6μm，所以认为轴向压缩位移不影响非球面测量精度，得到长度计测杆弯曲变形误差为：

(8)

1.3 基于核回归的测量力误差补偿

由于接触测量力导致的形变误差与非球面元件的斜率相关，而粗加工阶段的非球面元件表面通常凹凸不平，使用全局的曲线拟合算法如：最小二乘法、最小区域法、线性回归法等均为最小均方误差的无偏估计，受非球面元件表面粗糙度影响较大，容易导致欠拟合，使斜率计算误差较大。而核回归方法允许在估计中引入一些偏差，对局部的数据进行加权线性回归，可以有效的降低预测的均方误差[13]。由于核回归方法局部加权的特性，使其在回归预测分析中通常可以得到比全局拟合算法更好的效果，并广泛的应用于机器学习领域。

核回归算法在传统的全局曲线拟合算法损失函数的基础上引入权重函数w(i)：

J(α)=∑iw(i)(y(i)-αTx(i))2

(9)

式中，x(i)和y(i)为数据集样本点；α为拟合多项式系数，权重函数根据要预测的点与数据集中的点的距离来更新数据集中的点权值，常用的权重函数为高斯衰减函数：

(10)

式中，k为波长；x为预测点。指数衰减函数曲线见图5。

图5 权重函数

如图5所示，样本点距离预测点越远，其权重越小，波长越大，权重衰减越慢。

核回归算法对每个预测点x赋予一定的权重，然后在子集上基于最小均方误差进行线性回归，为了提高计算回归系数的效率，使用标准方程法计算其线性回归系数：

α=(XTWX)-1XTWy

(11)

式中，X为数据集，W为权重函数集。

利用核函数算法对含噪的表面粗糙度较高的非球面元件轮廓矢高测量数据进行拟合，得到如图6所示的拟合效果图。

图6 核回归拟合轮廓

如图6所示，当k=0.1时纳入了过多的噪声点，使拟合轮廓与数据点过于贴近；当k=0.5时拟合轮廓效果最佳，得到了数据的潜在模式；当k=1时权重很大，近似将所有的数据视为等权重，得出的最佳拟合轮廓忽略了非球面表面粗糙度对斜率的影响，不利于接触测量力误差补偿。

根据式(11)得到的回归系数，得到非球面矢高的回归模型：

(12)

当非球面斜率较小时，局部接触变形误差在水平方向的分量δbsinθ≈0；当非球面斜率较大时，测杆弯曲变形δc>>δbsinθ；所以认为接触测量力引起的误差约为测杆弯曲变形误差，对式(12)求导，带入式(8)得到补偿模型：

(13)

2 非球面接触式测量实验

2.1 实验装置

为了验证核回归对非球面接触测量力误差补偿的有效性，使用立式轮廓仪作为实验装置。轮廓仪矢高测量传感器为基恩士GT2-H50大量程长度计，量程为50mm，分辨率为0.5μm，接触测量力为3.2N。长度计固定在立式轮廓仪测量臂上，使用水平定位精度为1.5μm的导轨驱动系统驱动测量臂沿直线度误差为3μm/1000mm的大理石导轨移动，当水平导轨带动测量臂沿非球面母线移动时，长度计直接采集待测非球面的矢高，将若干离散的非球面矢高数据拟合后，得到非球面的一条母线轮廓。非球面接触测量装置如图7所示。

图7 非球面接触测量装置

使用该轮廓仪测量一个粗加工阶段理论加工参数为：曲率C=0.005，二次系数K=-1，口径φ=200mm的抛物面矢高，得到构成该抛物面母线的离散点。分别使用最小二乘法、最小区域法、线性回归法和核回归对形变误差进行补偿，使用高精度非接触式轮廓仪测测量结果作为实际值。

2.2 实验结果及分析

因为残差可以表征非球面的表面PV值和RMS值，利用文献[14]的方法，对抛物面矢高进行拟合，得到该抛物面的母线，计算残差，得到如图8所示的残差对比图。

图8 误差补偿残差对比

如图8所示，因为抛物面是旋转对称的，所以残差变化趋势对称分布，并且随着抛物面斜率增加，接触测量力所造成的形变误差越大，误差补偿的提高效果越好，母线拟合的精度越高，残差越低。可以误差补偿前的最大残差为27μm，使用全局曲线拟合的误差补偿方法的误差补偿效果略差，最大残差均为19μm左右，而基于核回归的非球面接触测量力补偿方法补偿效果明显，经过曲线拟合后的残差最小，最大仅为12μm，略低于实际值的8μm，显著的提高了轮廓仪的测量精度。

处理图7所示的残差数据，得到如表1所示的无误差补偿，以及经过最小二乘法、最小区域法、线性回归法和核回归法误差补偿的非球面母线PV和RMS值对比结果。

表1 误差补偿对比结果

在没有误差补偿的情况下，PV值和粗糙度约为实际测量值的3倍，测量精度最低，无法满足实际测量的需求。而由于被测抛物面处于粗加工阶段，抛物面表面PV值和粗糙度较高，最小二乘法、最小区域、线性回归法等全局的曲线拟合算法，对形变误差拟合效果较差，误差补偿效果为实际值的2倍以上，PV值测量结果均大于30μm，无法为抛物面精磨提高可靠的测量结果。使用核回归法的误差补偿方法考虑到了抛物面的局部粗糙度，对抛物面的斜率拟合效果最好，所以误差补偿效果最优，只略低于实际值6μm，接近基恩士长度计测量精度3.5μm，可以有效的提高接触式轮廓仪的测量精度。

完成一条非球面母线测量后，使用图6所示的轮廓仪的转台带动被测非球面旋转10°，测量该位置处的非球面母线。转台旋转一周后，完成非球面母线的测量，利用最小区域法，拟合36条母线得到非球面的表面形貌信息。利用轮廓仪对被测抛物面形貌进行重复测量，重复测量5组，每组测量10次，抛物面参数拟合后取平均值，得到表2所示经过核回归接触测量力误差补偿的抛物面参数测量结果对比数据。

表2 拟合非球面测量参数

核回归算法由于权重函数波长的关系，可以对非球面局部进行更好的拟合，有效的提高了非球面斜率的测量精度，从而可以有效的提高轮廓仪对非球面的测量精度。实验结果表明，曲率测量的最大相对误差仅为4%，曲面常数测量的最大相对误差仅为1%，验证了基于核回归算法的轮廓仪误差补偿方法的有效性。

3 结论

通过对轮廓仪测量非球面的过程进行分析，发现长度计接触测量力造成的轮廓仪精度损失最大约为长度计精度的30倍，极大的降低了非球面接触式测量的测量精度。分析了非球面接触测量误差与接触测量力导致的非球面表面形变误差和长度计测杆形变误差间的关系，并提出基于核回归的接触测量力测量误差补偿方法。最后通过实验验证了核回归算法相较于全局曲线拟合算法，误差补偿效果更好，可以更有效的提高轮廓仪测量非球面的精度。但是，本文的研究尚有不完善之处，实验中忽略了导轨直线度的影响，以及测量速度对测杆弯曲形变的影响，致使接触测量力误差补偿为近似补偿，降低了误差补偿精度，没有充分发挥高精度长度计的优势，影响了测量精度。下一步工作将针对建立更优秀的误差补偿模型以达到更好的测量精度。