多线性分数次积分算子在广义Morrey空间上的精确估计

胡 喜, 周 疆

(新疆大学 数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

1 引言及预备知识

其中

其中

1938年,Morrey[1]在研究二阶椭圆型偏微分方程解的局部性质时引入了Morrey空间.对Morrey空间的研究在经典调和分析和偏微分方程中扮演着重要角色(见文献[2-4]等).随后,许多学者探讨了Morrey型空间,并得到一些重要的结果,例如,Adams[5]研究分数次积分算子在Morrey空间上的性质,得到了Hardy-Littlewood-Sobolev定理.文献[6-7]分别研究了极大算子、分数次极大算子、分数次积分算子及其交换子在Morrey型空间上的有界性.

多线性算子理论也受到许多学者的关注.最初由Coifman等[8]在20世纪70年代研究多线性Caldern-Zygmund理论.2002年,Grafakos等[9]系统地研究了多线性Caldern-Zygmund理论.最近,有学者对多线性分数次积分算子理论进行了研究[10-12].

定义1.2[5]Adams型多线性分数次积分算子Iα,m定义为

Iα,m(f1,…,fm)(x)=

其中,x∈Rn,0<α

则存在常数C>0,使得

Lida等[14]给出如下精确估计:设0<α

其中,Q是包含于Rn的方体,Q表示Rn中所有方体构成的集族.称上式右边为多Morrey范数,并给出具体例子说明多Morrey范数严格小于Morrey范数的乘积.

基于文献[13-14]的已有结果,进一步探讨多线性分数次积分算子在广义Morrey空间上的精确估计,得到了本文的主要结果.文献[14]运用二进方体的思想,处理起来相当繁琐,而文献[13]的证明方法对于本文定理已经失效,我们将运用新的方法予以证明.

定义1.3[15]设Ψ=Ψ(r)是(0,∞)上的正的增长函数.对任意的r>0,满足倍测度条件:Ψ(2r)≤DΨ(r),其中D≥1是与r无关的常数.对于1≤q<∞,广义Morrey空间Lq,Ψ(Rn)定义为

其中

对于1≤q<∞,弱广义Morrey空间WLq,Ψ(Rn)定义为

其中

其中

弱广义Morrey空间WLq,Φ(Rn)定义为

其中

值得注意的是:Φ与Ψ有相同的性质,即Φ=Φ(r)是(0,∞)上的正的增长函数.对任意的r>0,满足倍测度条件:Φ(2r)≤DΦ(r),其中D≥1是与r无关的常数.

(1)

其中f1,f2,…,fm是定义在Rn上的可测函数.

其中

注1以上广义多范数Morrey空间的定义是文献[14]中定义4.1多Morrey范数意义下的推广.

进一步对Rn2Q分环,即

最后分别对以上4部分估计.然而在直接把Rn×Rn分为Ω0和Ω∞,从而有

f1f2=(f1f2)χΩ0+(f1f2)χΩ∞,

Ω0:={(y1,y2)∈Rn×Rn:|x0-y1|+

|x0-y1|<4r},

Ω∞:={(y1,y2)∈Rn×Rn:|x0-y1|+

|x0-y1|≥4r},

Ωk:={(y1,y2)∈Rn×Rn:2kr≤|x0-y1|+

|x0-y1|<2k+1r}.

在证明本文定理之前,给出一些必要的记号和说明:aB(a>0)表示与B同中心,边长伸缩a倍的球体;C表示与主要指标无关的常数,每次出现时其值可能并不相同;对于Rn中的可测子集E,用χE表示E的特征函数.不失一般性,仅对多线性分数次积分算子Iα,m在m=2的情形下进行证明.

2 主要定理及其证明

当q1=q2=1时,有如下的弱性精确估计.

定理2.1的证明利用Minkowski不等式

首先估计I.利用多线性分数次积分算子的有界性

再由Φ的倍测度条件,可得

下面估计II.此时,|x0-y1|+|x0-y2|≥4r.因为x∈B(x0,r),即有2|x-x0|<2r.又由三角不等式,则有:

|x0-y2|),

再由Φ的倍测度性,可得

综合I和II估计,可知

对上式左边关于x0∈Rn,r>0取上确界即可证得结论.

定理2.2的证明

首先估计I.利用多线性分数次积分算子的弱有界性

再由Φ的倍测度性,可得

下面估计II.利用切比雪夫不等式

再由Φ的倍测度性,可得

综合I和II估计,可知

对上式左边x0∈Rn,r>0取上确界即可证得结论.