余弦定理破解三类题

■河南省郑州市为民高中 黄一淼

一、余弦定理

二、对余弦定理的理解

(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立。

(2)结构特征:“平方”、“夹角”、“余弦”。

(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

(4)主要用途:余弦定理的主要用途是实现三角形中边角关系的互化。

三、余弦定理的应用

1.已知三角形的两边及其夹角,解三角形

解析：由余弦定理得:

故C=180°-A-B=75°。

方法总结：已知三角形的两边及其夹角,解三角形的常见方法:

先利用余弦定理求出第三边,求解其余角有两种思路,一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理求解。

若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题(在(0,π)上,余弦值所对应角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好。

2.已知三角形的两边和其中一边的对角,解三角形

例2 在△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,求角A、角C和边a。

解析：(法一)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(3)2-2a×33×cos30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或6。

当a=3时,A=30°,故C=120°。

当C=60°时,A=90°,△ABC为直角三角形,由勾股定理得=6;

当C=120°时,A=30°,△ABC为等腰三角形,a=3。

方法总结：已知三角形的两边及其中一边的对角,解三角形的方法:

可根据余弦定理列一元二次方程,求出第三边(注意边的取舍),再利用正弦定理求其他的两个角;也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍),再利用三角形内角和定理求出第三个角,最后再利用正弦定理求出第三边。

3.判断三角形的形状

例3 在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,试判断△ABC的形状。

等式两边同乘以2abc,得:

方法总结：判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正弦、余弦定理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,也可利用正弦、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形的形状。