全国名校等差数列拔高卷（B卷）答案与提示

一、选择题

1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.A 12.B 13.B 14.B 15.A 16.B 17.C 18.C 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.B 25.A 26.C 27.D 28.C 29.A 30.C 31.C 32.A 33.A 34.A 35.A 36.C 37.A

二、填空题

三、解答题

57.设公差为d,由a1=20,S10=S15,解得公差d=-5。3

因为S10=S15,所以S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=5a13=0,a13=0。

因为公差d＜0,a1＞0,所以a1,a2,…,a11,a12均为正数,并且a14及以后各项均为负数。

故当n=12或13时,Sn有最大值为S12=S13=130。

58.(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15。

由a1=-7,得d=2。

所以{an}的通项公式为an=2n-9。

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16。

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16。

可画出Sn的图像,由图像易得:

当1≤n≤6时,Sn单调递增;

当n≥7时,Sn单调递减。

Sn有最大项,最大项是S6=S7=42。

(2)由图像可得当Sn＞0时,1≤n≤12,故{Sn}有12项大于0。

60.由Sn=32n-n2,可得:

当n=1时,a1=S1=31;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(n-1)+(n-1)2=33-2n。

故an=33-2n。

令an≥0,则33-2n≥0,n≤16.5。

因为n∈N*,所以当n≤16时,an＞0;当n≥17时,an＜0。

本题Pn的求值应分两种情况讨论。

(1)当n≤16时,Pn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=32n-n2。

(2)当n≥17时,Pn=|a1|+|a2|+…+|a16|+|a17|+…+|an|=a1+a2+…+a16-a17-a18-…-an=(-a1-a2-…-a16-a17-…-an)+2(a1+a2+…+a16)=-Sn+2S16。

因为S16=32×16-162=256,Sn=32n-n2,所以Pn=512-32n+n2。

整理得n2+13n-140=0,解得n=7或n=-20(舍去)。

故甲、乙开始运动后7分钟相遇。

整理得n2+13n-420=0,解得n=15或n=-28(舍去)。

故第二次相遇在开始运动后15分钟。

故an+1+an=4n+2。

(2)由(1)可知an+1+an=4n+2。

也即an+2+an+1=4(n+1)+2。

两式相减可得an+2-an=4。

所以{an}中奇数项,偶数项分别为公差是4的等差数列。

由于n=2时,a2=p,n=1时a1=0,也适合该式,故对一切正整数n,an=(n-1)p。

因此,an+1-an=p。

由于p是常数,故数列{an}为等差数列。

64.(1)根据题意,商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{an}。

(2)设从11月1日起,第n天的销售量最多,1≤n≤30,n∈N*。

由(1)知,若商家在11月1日至15日之间未提价,则这15天家电M的总销售量为450台。

而450＞414,不符合题意,故n＜15。

也不符合题意,故n＞5。

因此,前n天每天的销售量组成一个首项为2,公差为4的等差数列,第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n-4,公差为-2的等差数列。因此,

由已知条件,得S15=414,即-3n2+93n-270=414。

解得n=12或n=19(舍去)。

故n=12时,出售家电M的台数为2+11×4=46(台)。

故在11月12日,该商场售出家电M的台数最多,这一天的销售量为46台。

65.(1)因为Sn=2an-2n+1,所以Sn-1=2an-1-2n(n≥2)。

f(n+1)＞f(n),故f(n)为递增数列。

66.(1)由题意可设Sn=An2+Bn,则Sk2

=A(k2)2+Bk2,Sk=Ak2+Bk。由Sk2=(Sk)2可得k2(Ak2+B)=k2(Ak+B)2,考虑到k为正整数,从而Ak2+B=A2k2+2ABk+B2,也即(A2-A)k2+2ABk+(B2-B)=0。

故满足题意的无穷等差数列有:

①an=0,n=1,2,3,…;

②an=2n-1,n=1,2,3,…;

③an=1,n=1,2,3,…。

同理可得:

设q=2p-1,此时r=4p2-5p+2。

因为p≥2,所以q=2p-1＞p,r-q=4p2-7p+3=4(p-1)2+p-1＞0。故q=2p-1,r=4p2-5p+2。符合题意。

综上所述,p=1时,不存在满足条件的q,r;p≥2时,存在q=2p-1,r=4p2-5p+2。