强化应用意识 提升数学素养*——对全国卷概率与统计应用题的分析与思考

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(灵璧第一中学,安徽 灵璧 234200)

1 问题提出

2018年高考是《普通高中课程标准》修订后的首次高考，承前启后.它是课程改革深化的体现，是高考发展的风向标.关注变化，研究动态，正视问题，寻求对策将有利于教学的促进与发展.

数学源于生活，应用于生活.学习数学的一个主要目的就是利用数学解决实际问题.高考中常将与大众生活息息相关的问题适度抽象、改造，以概率与统计等形式出现，试题平和，背景公平，在学生心情相对轻松的状态下实现对学生数学素养的考查.由于全国卷Ⅰ、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ均由国家教育部考试中心命题，使用范围广，影响力大，备受关注.笔者以全国卷概率与统计应用题为载体进行简析，并给出教学思考.

2 案例剖析

例1某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人：第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：分钟)绘制了如图1所示的茎叶图：

图1

1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.

2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表(表1)：

表1 不同生产方式所需时间和工人数统计表

3)根据第2)小题中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

表2 K2分布表

(2018年全国数学高考卷Ⅲ文、理科试题第18题)

分析本题以技术创新在生产实际中的应用问题为背景，亲切自然.数据信息多样化，图表语言是数学语言的一种形式，它具有直观、简洁、信息量大等特点．概率与统计试题常以图表的形式给出各类数据，既将条件言简意赅地呈现，同时也考查了考生读图表、识图表和用图表的能力.本题以茎叶图(高中新学的图表)为载体，考查了样本数据的数字特征(中位数)以及独立性检验的相关知识，考查考生数据分析整理、运算求解等能力.

解1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：

①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多78分钟.

②由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5.

③由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.

④由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.

又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.

(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.)

2),3)略.

点评如何理解第1)小题中“生产方式的效率更高”,仁者见仁,智者见智.命题组从宏观与微观等不同角度提供的参考答案有4种，并强调“考生答出其中任意一种或其他合理理由即可得分”，增加了对数据解释的开放性，要求学生运用统计方法分析并获得结论，促使学生从标准答案中解放出来.设计的目的是通过增强试题的开放性和探究性，鼓励学生灵活运用所学知识进行思考，多角度认识和分析问题，创造性地解决问题.学生能自圆其说需要具备较强的数据发现与整合能力和理性精神.第2)小题关键在于中位数的识别和表2中两个变量的理解.第3)小题关键在于独立性检验原理的理解和参照值的识别与应用.本题计算量较往年有所减少(与整张试卷计算量分布有关)，难度有所下降，注重统计的方法在实际问题中的应用，体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算和数据分析等数学核心素养.预计学生在第1)小题中会通过精确计算两种生产方式的期望(或方差)寻求结论.通过观察可估算出两组数据的数学期望，而精算必定耗时费力，这与教材、教学的范式(两组数据先比较其数学期望，期望相同时再比较其方差)所决定的；通过期望下结论因为忽视了数据的意义(完成生产任务的工作时间越短其效率越高)而出现错误；尽管第3)小题计算量不大，但学生仍会出现计算错误，主要原因为学生缺乏简化意识(先化简再计算)和运算能力薄弱.

例2某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式.

2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得表3：

表3 玫瑰花的日需求量和频数

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

(2012年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第18题)

分析本题以经营玫瑰花店的收益为生活背景，巧妙地将实际生活、函数、概率等知识交会在一起，由于背景为学生所熟悉，不会对学生理解题意造成困难.主要考查分段函数、用频率估计概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差等，以及在购进不同数量时所获利润的比较.第1)小题考查“数学”(统计不是数学，它是一门处理数据的艺术，出于不同的需求，可以对同一批数据作不同的处理)，好花美丽不常在，出售(垃圾处理)每枝玫瑰花的利润为5(-5)元，不涉及仓储管理等其他费用，但要弄清“需求量”与“销售量”的区别，才能将其正确地整合成分段函数形式；第2)小题的第①题考查统计，将随机事件数量化为随机变量，利用随机事件的对应关系得到随机变量的分布列；第2)小题的第②题仿照第①题如是处理，根据所得结果给出论断.

1)略.

2)解①X的分布列如表4所示：

表4 X的分布列

X的数学期望为

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76；

X的方差为

DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44.

②答案1：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝,Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列如表5所示：

表5 Y的分布列

Y的数学期望为

EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4;

Y的方差为

DY= (55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+

(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.

由以上的计算结果可以看出，DX

答案2：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝,Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y(的分布列同答案1)的数学期望为

EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出，EX

点评对于第1)小题，极少数学生对函数概念理解不到位，错误地认为y=5n.根据规则“当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理”,每个自变量必须在函数值域中找到其归宿(对应的函数值)，概念理解不透彻，则会用局部状态替代全局的所有情形.实际问题数学化能力与知识迁移能力不强表明学生的数学抽象素养和逻辑推理素养不高.第2)小题第②题两组数据呈现后如何论断呢？“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，要求学生从不同的角度、用自己所学的知识给出结论，贵在自圆其说.命题组给出了开放式的答案(结论相反)，是数学真实反映现实的写照，体现出了一定的人文价值.遗憾的是，学生千篇一律地选择答案2，整齐划一，更多的是机械训练的结果，导致学生处理问题不能发散思维，缺乏主见，只会按部就班地机械式操作，这与素质教育的发展方向背道而驰.一些考生选择“花店一天应购进16枝玫瑰”，理由是16枝玫瑰卖出的概率比17枝玫瑰卖出的概率大(需求量不变，进货量少)；而另一些考生选择“花店一天应购进17枝玫瑰”，理由是17枝玫瑰卖出的利润比16枝玫瑰卖出的利润大(卖出去的玫瑰花多，垃圾处理的玫瑰花少)，这部分学生的思维层次还停留在小学的加减运算阶段[1]，何谈独特与创新的数学思维.

例3图2是某地区2000—2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．

图2

1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

(2018年全国数学高考卷Ⅱ文、理科试题第18题)

分析本题以环境基础设施投资为背景，采用真实数据，引导学生将所学数学知识与经济社会发展相结合.以折线图形式给出数据，考查了线性回归模型，考查数据处理能力、运算求解能力、图形的识别能力.第1)小题将2018年对应的数t=19和t=9分别代入模型①和模型②即可得到预测值；第2)小题线性回归方程求解的原理是“最小二乘法”，通过理性思辨确定拟合效果，进而选择相对恰当的数学模型.这里主要有两种判断模型的途径：①利用数据的散点图，观测数据对应的点与回归直线的位置关系；②利用残差(的平方和)进行分析.

2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：

理由2从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

(注：以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．)

点评“如何合理地建立数学模型以及如何利用选择的数学模型解决实际问题”充分体现了数学在实际生活中的应用.本题意在引导学生关心日常生活、生产活动中蕴含的实际问题，体会课堂所学内容的应用价值，激发学习兴趣，是高考注重理论联系实际的重要方面.本题设计言简意赅，亮点纷呈，没有繁琐的计算，直接给出线性回归方程(有别于常见套路：先通过给定数据求出变量间的线性相关系数r判断两个变量(不)具有相关关系，然后求出线性回归方程，最后对结果进行预报等)，然后对两个指定的模型的效果进行区分.重在考查学生对数学建模过程的感悟与理解，引领学生跳出题海，学会理性思考.预计学生尝试利用数据分别求出理想化的数学模型(标准的线性回归方程)，将其与对应的模型①和模型②比较，可能因为运算量过大而放弃，无疾而终的原因可能是韧性不足，还可能是方法不当自找麻烦，本题显然是后者.由于本题提供的数据区分度较高，可通过形的直观(理由1)，也可通过典型的数(理由2)得到结论.

3 教学思考

3.1洞悉纲领文件，明确目标指向

《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科)》简要给出了考核目标与要求(知识要求、能力要求、个性品质要求、考查要求)和考试范围与要求，它指出“能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识”，这里前3个“能力”与数学应用息息相关，后4个“能力”更与之密不可分.“考查要求”强调“对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式”“对创新意识的考查是对高层次思维的考查.要注重问题的多样化，体现思维的发散性……”，以上例题将两种考查要求巧妙融合.

《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科)》从数学基础知识、数学思想方法、数学能力等角度将考核目标与要求具体化并给出示例.如在“统计与概率的思想”中以本文例2为例进行说明；在“数据处理能力”中选择2016年全国数学高考卷Ⅰ理科第19题(在n=19和n=20中决策)作为示范；在“应用意识”中选取2016年全国数学高考卷Ⅲ理科第18题(垃圾处理无害化的线性回归模型拟合与预测)作为示例，这3道题分别从知识、思想方法、结构形式等角度反复呈现，不断渗透.

《高考理科试题分析·语文、数学、英语(2018年)》从考查目的、命题过程、解题思路、答案、试题评价等方面全方位对试题进行解读，讲清试题背后的故事.

通过以上文件的学习，2018年的数学高考轮廓清晰可见，试题已初具雏形.因此，《普通高中数学课程标准(2017年)》等文件是教学与考试的纲领性文件，是教学的根基.只有充分理解以上文件的精神，才能把控教学方向，做到有的放矢.

3.2 落实教材意图，明晰问题本质

作为教与学舵手的教师，在把准方向的同时还要谋求教学内容的落实.教材是教与学的载体，理应得到重视.研读教材，开发教学资源，落实教材编者意图，是教学低耗高效的唯一方式.教材限于篇幅，往往只呈现内容的基础与主干部分，教师要完善教材，充分解读教材，挖掘并丰富问题的内涵，在学生的最近发展区组织教学.如线性相关系数r的临界值的决定因素有哪些(与样本数据的组数有关)；“有99%的把握”为什么查表找P(K2≥k)=0.010(变量独立性检验的原理确定，等价表述的具体方式不同).又如例1中中位数的识别，因为样本提供的是离散型的原始数据，依照中位数的概念(将数字从大到小(或从小到大)排列，奇数个数的中间数或偶数个数的中间两个数的平均数)即可确定.

而对于以频率分布直观图形式呈现的图表，无法得到原始数据，只能用累计频率为0.5处的数字进行估计.如2017年全国数学高考卷Ⅱ理科第18题的第3)小题中“新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)”的答案为

但不少学生的答案为

无视有限与无限、离散与连续的区别，导致张冠李戴，而这恰恰是古典概型和几何概型本质上的区别.

教师是教学内容(知识、思想方法等)的加工者与传递者，而不是知识的搬运工.教学要脚踏实地，弄清主线，抓住主干，以点带面，绝不能用统计出的数据或感性经验来猜题、押题，否则只会搬石头砸自己的脚.如某些教师归纳出全国卷Ⅰ概率与统计考查的热点为线性回归、正态分布、独立性检验，进而反复演练，不断强化，结果2018年全国数学高考卷Ⅰ理科第20题就考查了随机变量的概率分布列等问题，看到意料之外，实乃情理之中.“题在书外，根在书中”，教材内容具有基础性与拓展性，高考试题具有综合性与选拔性，如何弥合教材与高考的差异，实现思维进阶，研究高考试题是重要的方式.高考试题是数学知识融合的范式，通过对高考试题的研读与解析，能更具体、更直观地深化对知识本质的理解.值得注意的是，研究高考试题的目的不是寻求可供“对号入座”的题型，而是通过解题思想方法的领悟深化对知识的理解，提高思辨能力，形成数学素养，以不变应万变.

3.3 重视数学阅读，提高运算能力

高考中的应用性问题贴近生活，背景充分，为了不引起学生的误解往往叙述翔实而导致题干较长，使得众多的知识点、数量关系相对分散甚至隐蔽，给学生快速、准确、全面的理解题意设置了障碍，它需要学生具有一定的阅读理解能力.准确阅读是获取有效信息的前提，提高学生的阅读理解能力势在必行.这里只强调教学过程中一定要指导学生如何阅读，并给足学生阅读的素材、时间与空间.

数学应用离不开运算求解等能力.目前师生大多通过超负荷的机械性训练来提高计算的技能品质(准确性和熟练度)，导致大部分学生不喜欢运算，缺乏正确运算的信心，甚至怀有负面情感.如何提高学生的运算能力？准确理解和掌握基础知识、公式和法则是前提，科学记忆是基础，提高变形能力是保障，反思优化是关键，发展思维是核心[2].教学时要引导学生“多想少算”，先独立思考算理、算法，然后寻求算法的多样性，再反思、改进，最后在师生的交流中实现运算从机械操作走向理性分析并逐步实现优化.

3.4 关注生活素材，强化数学应用

陶行知先生曾说过：“教育可以是书本的，与生活隔绝的，其力量极小．拿全部生活去做教育对象，然后教育的力量才能伟大.”如何让学生从书内走向书外，从课内走向课外，实现理论联系实践？教学要引领学生回归生活，关注应用，强化发现，尝试提出问题，设计并优化解决方案，提高数学建模能力，积累活动经验，使理论与实践齐头并进、共同发展.