高中数学“知识理解”再思考

王勇

[摘 要] 高中数学教学历来强调理解教学，理解教学的基础是“知识理解”. 知识理解是一个专业概念，其强调两个基本要点：一是新知识与旧知识的联系；二是新知识在新情境中的迁移与应用. 本文基于“集合”这一数学概念的构建，阐述了知识理解的教学设计与实施途径，并从学生学习是否具有“获得感”的角度论述了对知识理解的把握.

[关键词] 高中数学；知识理解；核心素养

数学教学的基本目的之一，就是促进学生的知识理解，从学生的学习情况来看，知识理解的过程是伴随着教学过程的，但不同学生在实际学习过程中，知识理解的程度是有所不同的，这也就造成了实际学习过程中的结果差异. 而从教师教学的角度来看，我们也强调学生在学习中必须是“理解学习”，尤其是对于高中数学而言，如果没有理解学习，那问题解决的过程必然就是死套公式或者是凭着大量的习题训练以达到一种所谓的自动化水平，这种自动化水平在面对新的问题情境时，往往并不会起到多大的作用. 实际教学中，师生面对的矛盾是：什么样的学习才是理解学习？而回答这一问题，就必须从知识理解这一更基本的问题入手. 本文以高中数学中最基本的概念——集合入手，尝试对知识理解作一基本的、深入的解读，以期为核心素养背景下的高中数学教学夯实基础.

知识理解的含义理解

知识理解与理解知识还有所不同，所谓知识理解，是指学生在数学学习的活动中，用已经具有的数学知识、生活知识、数学经验、生活经验，并以之加工、改造、重组所获得的新的数学知识，揭示新的数量关系或空间关系，以实现对数学本质的把握的过程. 其中，理解是知识理解这一概念的核心词，只有真正实现了对知识的理解，数学知识体系的建立、数学核心素养的培育才有了坚实的基础.

进一步的研究表明，高中数学教学中要实现知识理解，还需要关注两个重点：

一是关注学生在新的数学知识学习的情境中，大脑中已有的知识能否与新的知识发生紧密的联系. 比如说学生在学习“集合”这一概念的时候，大脑中比较丰富的往往是在生活中形成的集合概念，这种生活中形成的认识与数学上集合的概念既有相通的地方，同时又有着诸多不同. 最简单的数学上的集合是一个陈述性概念，是名词；而在生活中的集合概念既有名词的意思，同时也有动词的性质. 但在实际建立集合概念的数学理解的时候，往往又是需要借助于生活中形成的集合概念来进行的，因此基于生活且超越生活，就成为“集合”概念建立的重要基础，且教师在此环节唯一要努力的，就是引导学生从生活中形成的集合概念提取出数学要素，使之成为数学意义上的集合.

二是学生在完成了知识理解的过程之后，能否将新学习到的知识迁移到更新的情境当中去. 这一要求实际上是指向学生对数学知识的应用的，因为只有真正会应用数学知识，才是建构成功的数学知识. 而且这种应用不是简单的迁移，应当是在变式等情境下的运用，这才是真的应用，也才能判断学生是不是真的完成了知识理解的过程. “集合”这一概念的教学中，主要既包括针对集合概念进行的描述，也包括特殊情形下的根据集合的特性判断带有未知数的集合的条件等.

总之，高中数学教学中的知识理解，尤其是知识理解的判断，不能只满足于看学生是否能够解题，而应当从过程与结果两个维度，把握学生的思维过程与数学知识的应用，只有过程与结果的双重保证，才能让学生的数学知识理解得以真正地发生.

促进知识理解的教学

基于以上理解，笔者以为高中数学中需要坚持的一个基本理念，就是为了学生的知识理解而教. 事实上，此前的数学教学就有这样的传统，只是在应试的压力之下，这样的努力难免异化，现在核心素养培育的背景下重提知识理解，笔者以为仍然是有必要的，且是需要做出一些形式与实质上的创新的. 现就以“集合”概念的教学，具体阐述如何促进知识理解的教学. 笔者设计的教学流程包括如下几个步骤：

第一步，创设情境，引导学生重现生活中的集合认识. 集合是高中数学的第一个概念，笔者考虑到学生刚刚经过军训，而军训过程中就有丰富的集合概念，于是就以军训过程中拍摄的相关图片和视频作为素材，设计了一个情境：军训场地上，教官一声口令“全体集合”，于是原本分散的学生就集合到了指定地点. 这个场景简单，但学生熟悉，因而可以起到促进学生学习的情境性作用.

第二步，利用数学集合的描述，从情境中提取數学元素，建立集合概念. 笔者跟学生一起分析：在刚才的情境中，教官的一声“集合”是个口令，而最终一个群体的学生确实聚集到了一起，我们把这个集体就叫作“集合”，这个集合是由一定范围（高一2班）的学生组成的，对象又是各不相同的（顺序可以调整但始终各不相同）——强调这两点，实际上是为了学生理解集合的特征而做出的努力. 事实上，根据这一素材，确实可以让学生认识到集合中元素的确定性、互异性和无序性.

第三步，让学生利用集合解决相对抽象的数学问题. 如让学生判断方程x2+2x+1=0的两个解是不是含有两个元素的集合；又如让学生判断{3，x，2-x}如果是一个集合的话，那x应当满足什么样的条件等.

设计意图解释：在第一步、第二步的设计中，笔者选择的情境不仅简单，同时这个情境还能够体现数学中集合的三个特征，容易引导学生形成准确的集合概念及认识. 更重要的原因是，集合在数学中本身就是一个没有明确定义的描述性概念，学生只需要认识到集合是一个描述多个不同对象组成的整体而非描述个体的概念，并认识到三个基本特征即可.

在第三步的设计中，笔者跳过了利用集合概念去解释生活中的实例的步骤，而直接解释数学实例，一是因为生活实例在此难以抽象，学生分析的对象不够清晰，不利于学生巩固集合概念；二是直接面向数学实例，既可以让学生认识到集合概念所必需的界定规则，如满足类似于x2+2x+1=0的规则的结果就有可能形成集合等，又可以通过后面的{3，x，2-x}的判断让学生学习集合概念中易错的集合元素的互异性.

从上面知识理解的角度来理解这一教学设计，可以发现：

其一，集合概念在建立的时候，充分利用了学生生活中形成的集合经验，然后在生活实例的分析中有效地形成了符合数学意义的集合概念，因而这样的一个数学抽象过程可以说是成功的，而数学抽象原本就是数学学科核心素养的第一要素，是学生利用数学眼光观察生活事物的基本能力，当然也是关键能力.

其二，集合概念在运用的时候，虽然不是面向生活，但卻是面向新的情境，可以保证此前形成的集合概念，能够在新的情境中得到有效的迁移. 而且这种迁移是在学生已有集合概念的基础上适度进行的数学形式的改变，具有一定的创新意味，使得学生大脑中关于集合的理解可以得到拓展，比如说就有学生意识到形成集合的规则原来既可以是用“{}”来直接表示的，也可以是用方程所描述的规则来生成集合的，这就是思维的迁移与拓展.

总的来说，经由这样的教学过程，集合概念的建立是成功的、有效的，知识理解的教学目标是达成的.

让学生有学习获得感

知识理解本质上是从学生的角度来做出描述的，学生在数学学习中有没有达到知识理解的境界，学生自己最有直接认知，借用当前的一个热门的社会术语，那就是教师对知识理解所作出的努力，需要让学生有实实在在的“获得感”.

那如何判断学生有无获得感呢？一是要看学生学习过程中的状态，根据笔者的实践经验，这里最需要关注的就是学生的学习细节. 当前倡导自主合作学习，那在这个过程中，教师可以做一个细致的工作，就是观察学生在自主学习、合作学习过程中，他们能够对所学的知识做出哪些反应. 比如说在“集合”概念的学习中，笔者就注意到有学生在分析军训实例的时候，提出全班学生可以形成一个大集合，一个小队的学生可以形成一个小集合的说法，而这一观点其实是可以为后面的数集奠定基础的，很显然这些学生在理解后面的自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集的时候，其中的逻辑关系更为清晰，而这个时候就是学生具有获得感的时候. 二是要看学生知识迁移的过程，高中数学教学目前强调一个朴素的原则，那就是第一次尽量做对. 第一次，就是知识的第一次迁移，做对意味着知识理解是到位的，反之在知识理解上就存在问题，因此在笔者的数学课堂上，一直强调学生要有第一次是否做对的自省能力，如果不能做对，一定要查找原因，并尝试在变式训练（而不是原问题）中再次做对. 事实证明，这样的情形下，学生也是容易有获得感的.

综上所述，高中数学教学中，基于知识理解这一基本要求，发掘其中的实施细节，可以让学生在知识理解的获得感中形成能力，进而实现核心素养的落地.