问题引领激活数学思维，自主建构完善认知体系

郭龙祥

[摘 要] 高中数学要确立数学思维与认知体系两个着力点，前者需要问题去激活，后者需要在自主建构的基础上形成.当问题具有引领作用，且能与自主建构相辅相成时，往往就能够有效激活学生的数学思维，并促进数学认知体系的完善.

[关键词] 高中数学；问题引领；自主建构；数学思维；认知体系

高中数学教学过程中，教师最需要施力的两个重点是学生的数学思维以及数学认知体系. 数学思维与数学认知体系是相辅相成的关系，前者可以促进后者的形成，而后者则可以让前者更完整且在问题解决的过程中发挥更大的作用. 从教学经验来看，高中学生在数学学习中的数学思维激活还是存在挑战的，机械学习、模仿式学习的学习不在少数，而学生对数学认知体系的建立本身就没有太大的兴趣，一个重要原因同是认知体系的建立并不能给数学问题解决尤其是数学习题解答带来直接的好处，将学习的大部分精力放在解题上以更好地面对考试，是学生现实而又无奈的选择.

在这样的背景下，尤其是考虑到当前数学学科核心素养的提出，笔者以为还是要将数学思维置于数学学习中最重要的位置，要将数学认知体系的建立视作是数学学习的重要基础. 这样才能在数学应试与数学学科核心素养的培育之间寻找到一个更好的平衡点，从而在满足学生应试需要的同时，更好地让学生在数学学习中有真正的收益.基于这样的思路，笔者此处谈三点认识：

通过问题引领来激活学生的数学思维

问题引领是数学教师并不陌生的一个概念，问题引领有两个关键词：一是问题；二是引领. 问题对于数学教师来说，是教学环节中无法回避的重要载体，而问题要想发挥引领作用，进而去激活学生的思维，问题本身就必须具有适切性，而不是简单地在陈述句后面加一个问题，也不是教师基于自身的想象去随意提出问题. 所谓问题的适切性，是指适合学生的认知需要，在学生建构知识的过程中有所疑惑却未经数学加工的背景下提出问题，这样的问题才具有引领学生进一步建构数学知识的作用，也只有在这样的情形下，学生的数学思维才有可能真正被激活.

例如，在“函数”的教学中，要判断两个函数是否相等，教师可以进行这样的设计：首先，跟学生一起回忆确定函数的两个基本要素——定义域和对应法则（这两者可以让学生自主说出，最好是举例说明）；然后，跟学生一起讨论：如果两个函数相等，那需要满足什么样的条件？

这是一个具有初步引领作用的问题，这个问题建立在对函数相等的两个条件的回忆基础之上，因而学生可以迅速反应出只有定义域和对应法则都相同时，两个函数才是相等的，即是同一个函数. 但只满足于这样的教学显然是不够的，因为只有这样的问答，学生的数学思维实际上是没有发生的. 因而还需要第三个教学步骤，那就是引导学生对函数相等的相关知识进行剖析，如提出这样的几个问题：两个函数的定义域不同，那这两个函数一定不相等吗？两个函数的对应法则不同，这两个函数一定不相等吗？（这两个问题需要学生能够举例佐证）其后继续提出问题：如果定义域和值域都相同，那这两个函数是否一定相等呢？这才是基于前面问题链的基础上提出的最重要的一个问题，因为这个问题具有一定的“迷惑性”，因为定义域和值域相等，通常容易让学生认为两个函数是相等的，这个时候要学生举反例，在初学之时学生是有一定困难的.

此时教师怎么办？“引领”一词可以给我们以启发，既然是要引领，那就要让问题发挥引领性的作用. 笔者在教学中是跟学生一起分析的：既然在确定函数相等的时候，是用定义域和对应法则来界定的，那理论上只有定义域与值域相同，就不能说函数是相等的，那如何反证呢？（这实际上也是一个具有引领作用的问题，可以让学生的思维进一步深入），在师生共同分析的基础上，共同决定寻找反例，而当类似于y=3x+5与y=6x-8的两个函数同时呈现时，学生会发现原来它们的定义域与值域都是R，但它们的对应法则并不相同，因此这两个函数显然不是同一个函数. 实际教学中，此环节中的学生思维常常会有一种变换：原本以为要寻找两个复杂的函数，哪里知道两个简单函数就成了反例，于是学生也认识到了自己思维的盲点：判断两个函数相等与否，其实关键还是要看对应法则，而定义域则是对应法则基础上的必要条件.

由此也可以发现，高中数学学习的过程中，学生思维的激活，问题可以发挥不可替代的作用，只有问题能够打破学生的认知平衡，只有问题能够让学生发现自己的思维盲点，而教师只要让问题在提出的同时引领学生的思维，那数学思维的激活就是轻而易举的事情.

通过自主建构促进学生认知体系完善

自主建构也有两个关键词：一是自主；二是建构.这里其实蕴含着两个重要的理念：自主学习是课程改革中的最重要的关键词之一，其强调学生在非他主的情形下进行学习，而其价值在于学生能够发现自身学习不足的情况下，通过自身的努力来弥补不足；建构强调的则是认知体系的建立，每一个学生的学习最终都应形成相应学科的认知体系，而高中数学又是最需要认知体系来支撑的. 经验表明，只有认知体系完善的学生，才能在问题解决中准确地判断出问题解决的思路，准确地寻找到问题解决所需要的数学工具.

在自主建构的教学要求中，有一个默认的前提，那就是只有学生自主建构出来的认知体系，才能真正纳入学生原有的体系当中. 任何外界灌输的由知识框图表征的所谓体系，如果不能为学生所内化，是不能真正成为学生认知体系的一部分的.

例如，“函数”这一概念建构的过程中，需要解决函数的判断、函数相等的判断、求一般函数的定義域、求函数值、求函数的值域、作函数的图像、应用函数图像比较函数值的大小等若干个问题.这些问题如果能够有效融合，那就可以形成学生的认知体系. 在实际教学中，教师常常采取的措施是这里列出的每一点通过一两个例题来训练学生，以让学生形成认识. 这样的教学思路中，学生是被动的，是谈不上自主的，因此教学效果并不理想——最直接的表征，就是学生的认知体系难以建立.

笔者在教学中尝试了另一种教学方式，将每一个相应的知识点所准备的习题打乱了，按照从易到难的顺序编制成一张学习单，先让学生就着这张学习单去解决问题（习题），在问题解决的过程中，首先强调自主思考并解答，如果有困难则可以在小组内讨论交流.等到所有问题都解决（这一过程与常规教学无异，不赘述）之后，笔者再提出一个问题：梳理这些问题并进行分类，你有什么发现？

既然要分类，就要寻找分类标准，而在学生比较这些习题过程中，学生会发现有的是判断是不是函数的，有的是判断函数是否相等的，有的是求定义域和值域的，有的则是求函数值的，还有的则是利用函数图像解决问题的. 有了这些分类标准，结果也就自然而然地呈现了，于是原本杂乱无章的习题，在分类标准中纷纷“归位”，而此过程由于完全属于学生的自主探索，从而也就建构起了关于函数的一个认知体系. 这个体系形成之后，可以让学生在类似的情境中，更顺利地解决问题.

让问题引领和自主建构作用相辅相成

在实际教学中我们发现，问题引领与自主建构实际上是相辅相成的，问题引领的过程中常常有着学生自主建构的过程，而学生自主建构的过程也离不开问题的驱动. 日常的教学中，看到的更多的往往是偏重于一端的情形，而如果让两者相辅相成的作用真正发挥，那就可以更有效地促进学生的数学学习.这一点，在稍微复杂点的数学知识学习过程中，体现得尤其明显.

例如，在“复合函数的定义域问题”学习中，常常有学生因为函数是复合函数，在复合函数向一般函数转换的过程中容易出现错乱，而对此部分的知识感觉不佳. 事实上，如果例題提供恰当，问题引领恰当，那学生建立起这部分知识的理解，并将其纳入原有的知识体系当中，也不是一件非常困难的事情. 对此，笔者的设计是这样的：首先提供若干个例题，如：已知f（x）的定义域为[0，2]，求y=f（x+1）的定义域；已知y=f（x+1）的定义域为[0，2]，求f（x）的定义域；已知y=f（2x-1）的定义域为[-1，1]，求y=f（x-2）的定义域.

这三个问题互有关系，前者是后者的基础，后者是前者的深化与拓展. 在实际教学中，需要引导学生从f（x）的自变量x满足的关系，去判断变化后的函数的自变量满足的关系，并利用不等式完成求解. 这些过程一定要交给学生完成，以确保是“自主”的（即使学生有困难，都也只能点拨，不能代劳）. 而在问题得到解决之后，还需要让学生认识三个问题的联系，并思考教师为什么提出这样的三个问题. 而这一问题如果得到了解决，就意味着学生能够从命题意图角度认识如何求复合函数的定义域，这种认识往往有助于学生的认知结构中具有高屋建瓴的认知要素.

综上所述，高中数学教学中坚持问题引领与自主建构，可以有效激活学生思维、完善学生的认知结构，从而促成教学效益的最大化.