排列概念的形成过程

田颖

[摘 要] 排列一节的内容比较简单，很多时候老师和学生对该节内容不够重视. 实际上这节内容里蕴含着丰富的数学思想，既能培养学生严谨思考的习惯，又能让学生体会到这部分问题处理的灵活性.

[关键词] 排列；概念；形成过程

有人说，数学的学术形态表现出“冰冷的美丽”，而教育形态却是一种“火热的思考”，每天“冰火两重天”的数学魅力在教学设计中酝酿，在课堂上生成. 现在以“排列”为载体，从“为什么”“是什么”“怎么做”三个方面分享我的点滴认识.

首先，从“为什么这样设计”开始.

从学情、理论、教材三个方面的分析. 学生已经具备了用两个计数原理来研究计数问题的基础，期待计数问题的解决方法更加优化、多样化. 排列属于概念性知识，概念教学的关键是让学生真正经历概括过程，实现的方式是有目的地创设情境、有逻辑地提出问题. 用情境刺激学生思考“我有什么”“还需要什么”，当学生从以往的经验出发，对新问题进行认识、理解和假设时，有逻辑地“问题串”会牵引学生通过思考肯定或否定自己的假设. 日积月累，才能实现用数学的方式助力学生发展.

接下来，要明确本节课的基本内容是什么.

本节课有三级目标：课程目标、单元目标和课堂目标. 排列是在乘法计数原理的基础上归纳概括出来的新概念，也是进一步学习组合的重要依据，这种关联性决定了本节课的教学要“瞻前顾后”. 本节课的重点是归纳得到排列的概念、推导排列数公式、构建排列解决问题；难点是让学生在概括的过程中将排列纳入自己的认知系统，并能通过多角度地思考问题来提升思维的灵活性.

在目标指引下，落实该怎么做.

本节课有五个教学环节. 在复习引入环节，先是类比数列学习时的逻辑顺序，明晰本节课在本单元中的逻辑地位，概述本节课的研究任务.

再回看上节课例9（课本第9页）：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容. 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现. 那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？由于重复性工作，使得例9的解答过程烦琐，那么，为这一类计数问题寻求更加简洁的解法就成为一种需要.

在需要的牵引下，开始了概念的获得过程. 为了增强感受，先从3个例子入手：

例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的安排方法？

例2：从1，2，3，4这四个数字中，取出三个不同数字排成一个三位数，可得到多少个不同的三位数？

例3：从红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种不同的颜料中选取两种不同的颜色分别去涂小丑的鼻子和嘴，有多少种涂法？

针对例1学生的解决方案呈现出不同角度：

方案一：

第一步：从3名不同的同学中选出1名同学占据第1个位置，有3种方法；

第二步：从剩下的2名不同的同学中再选出1名同学占据第2个位置，有2种方法，根据分步乘法原理：3×2=6.

方案二：

第一步：从3名不同的同学中选出2名不同的同学，通过枚举法有3种方法；

第二步：将已经选出的2名不同的同学排成一列，有2种方法，根据分步乘法原理：3×2=6.

方案三：

按照甲同学安排情况分类来解决问题：

甲同学没参加活动：2种情况（枚举）；

甲同学参加活动：甲同学参加上午活动2种情况；甲同学参加下午活动2种情况.

综上，2+2+2=6.

方案一分两步安排上午、下午两个位置，把“上午、下午两个位置”看作“主体”，把“甲、乙、丙”当成“客体”，用乘法原理解决问题；方案三依据甲参加活动的情况分类，把“甲”看成主体，用加法原理解决问题；方案一和方案二用的都是分步计数原理，但是方案二的两个步骤是先取再排，与方案一中步骤的理解不一样. 马上学生提出由于例3中颜色种类为7种，所以方案二实施起来比较麻烦. 这个看似麻烦的方案二为组合的出现埋下了伏笔.

接著，学生们开始归纳概括这3个例子具备的共同特征，开始了一般化的过程. 经过分组讨论，学生分享了他们的想法，学生把“人”“数字”“颜料”抽象为“元素”，并看到3个例子中的备选元素和取出元素都是不同的，还体会到取出的元素排列顺序不同结果也不同. 基于这三点，逐步完善地表达出“从n个不同的元素中取出m个不同的元素按照一定的顺序排成一列，共有多少种排法”这个一般问题，并利用方案一分步安排m个位置，用乘法原理解决问题. 这是学生在经历了比较、类化、归纳、一般化的过程后取得的丰硕成果，对于学生来讲，排列和排列数公式可以说是”千呼万唤始出来”.

“千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面.”所以没有马上进入应用环节，除了进一步明确什么是排列，对排列数公式进行完善化的补充，笔者抛出了由5个问题组成的问题串，辨析排列和乘法原理间的关系.

问题1：满足什么条件时两个排列才相同？

问题2：排列数概念与分步乘法计数原理有何关系？

问题3：举例说明什么问题能利用分步乘法计数原理，但是不属于排列问题？

问题4：举例说明当问题既能用分步乘法计数原理，又能用排列模型来解决时，排列的优势是什么？

问题5：如果用两个词来概括排列的特征，你会用哪两个词？

在问题串的牵引下，学生举例、辨析. 每一次举例都是对排列认识的一次加深，每一次辨析都是让排列这个新概念能从乘法原理中游离出来所做的一次努力. 经历了这个过程，排列已经悄悄进入学生的认知系统，成为解决问题的新工具.

“理在用时方知妙”，学生开始尝试借助排列解决问题.

练习1：（1）从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（3）从1，2，3这3个数字中每次取出2个不同的数相乘，有多少种不同的积？

（4）从1，2，3这3个数字中每次取出2个不同的数相除，有多少种不同的商？

练习2：上节课的例9.

练习3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

第一个练习，在对比中辨别排列；把上节课的例9作为第二个练习，利用排列简化了解题方法；在第三个练习中，一方面，继续使用两个计数原理和排列解决问题，另一方面，学生用不同的解法表达“条条大路可通罗马”，而为什么选择这条路？值得我们细细品味.

有的学生把安排位置当作“主体”，并优先安排“百位”，这时要追问，优先安排十位或个位不可以吗？学生在比较之后体会出优先安排受限位置，解决方法会比较简单；同样的，学生体会出，当把元素作为“主体”时，抓住受限元素“0”有没有被选出来分类，问题的研究会简洁明快. 这时“优先原则”就不再是一句口号，而是学生宝贵的体验和经验.

另外，有的学生抛开限制条件，把从10个不同的数字中取出3个数的排列数当作整体，要研究问题的对立面就是0在百位时三位数的个数，发现对立面的研究很方便，就借助间接法解决了问题.

能从不同角度解决问题是思维灵活性的体现，但是换角度看问题的抓手在哪里？根据本节课的知识，结合练习3的体验，在计数问题中，变换角度的抓手有两个：一个是变换“主体”和“客体”，另一个是跳出问题从整体中寻找问题的对立面，相信这点经验是学生宝贵的财富.

同时，本节课的教学过程会让学生体会出排列是乘法原理的重要应用，两个计数原理是解决计数问题最基本、最重要的方法，分类和分步是把复杂问题分解和简化的有效途径.

接下来是课堂小结：一方面请学生反思概念的获得过程，归纳概念形成的“一般套路”；另一方面，询问学生针对本节课的学习，还有什么困惑. 当问到困惑时，一个学生提問：反思解决3道例题的方案二，方案二的第一步里是不是藏着另外一个计数模型：“从n个不同的元素中取出m个不同的元素，有多少种取法”，他还说，这个模型在生活中经常碰到，应该有研究价值吧？学生的这个问题，不正是下节课的起点吗？