基于稳健回归理论的发动机数学模型研究

刘常青



10.16638/j.cnki.1671-7988.2018.18.036

基于稳健回归理论的发动机数学模型研究

刘常青

（陕西重型汽车有限公司，陕西 西安 710200）

文章引入稳健回归理论建立发动机外特性数学模型，并对比分析了最小二乘法建立的发动机模型，稳健回归相对最小二乘法可以提高发动机数学模型的精度，同时有效降低试验数据中误差点对发动机数学模型的影响，为建立整车模型打下良好基础。

发动机；数学模型；稳健回归

前言

发动机是车辆的心脏，准确的发动机数学模型是整车性能仿真模型建立的基础。发动机数学模型一般通过插值法或拟合法建立。插值法的优点是精度高，缺点是需求试验数量样本量大、精度高，计算速度较低；拟合法一般采用最小二乘法拟合，优点是模型处理、应用方便，对数据样本量及精度要求低，缺点是精度较低，尤其是试验数据不很规则时误差很大。

最小二乘法拟合在实际应用过程中应用最广，本文针对其拟合的不足之处，引入稳健回归理论建立发动机外特性和万有特性数学模型，在保留模型处理、应用方便，对数据样本量及精度要求低的优点基础上，同时可以有效降低试验数据中误差点对发动机数学模型的影响，提高发动机数学模型的精度。

1 发动机外特性数学模型建立

发动机使用外特性中扭矩T可以看成转速n的函数。数学模型为：

式中：T表示扭矩m，n表示转速r/min，A表示拟合系数，k是多项式的阶数。

2 稳健回归理论方法的确定

估计的稳健性是统计学稳健估计中的一种方法，主要是将对异常值十分敏感的经典最小二乘回归中的目标函数进行修改，减少大量随机误差和少量奇异值对待估参数的影响。

稳健估计中M估计是应用最为广泛的一种稳健估计方法，基本思想是采用迭代加权最小二乘估计回归系数，可以认为是一种广义极大似然估计。

表1列出了常用的8种权重函数。

表1 常用权重函数

对于线性回归模型：

然而，该方法会导致那些远离数据群体的数据(很可能是奇异值)对残差平方和的影响比其他数据大得多。由于最小二乘回归为达到极小化残差平方和的目的，必须迁就远端的数据，奇异值对于参数估计相当敏感。

M估计稳健回归的基本思想是采用迭代加权最小二乘估计回归系数，根据回归残差大小确定各点的权重，以达到稳健的目的。其优化的目标函数为：

其中σ为误差项的标准偏差估计。标准偏差估计σ由下式计算：

其中medi()表示取中位数。

定义权重函数为（r）为（r）/r，并( )令表示n阶对角矩阵。

3 发动机数据拟合对比

分别用最小二乘法和稳健回归法对发动机进行外特性拟合，完成了多项式阶数从2到7的两种方法的对比图，得到外特性曲线如图1、图2所示，图中“*”表示试验得到的数据点。

图1 发动机外特性曲线（最小二乘法拟合）

图2 发动机外特性曲线（稳健回归法拟合）

由图可以看出在阶数4时拟合曲线与试验数据吻合度最好，并且相同阶数拟合时，稳健回归拟合曲线吻合度要优于最小二乘法拟合曲线。

4 结论

通过仿真结果对比表明，采用稳健回归理论建立的发动机外特性数学模型，其精度优于最小二乘法，能够较为精确的反应发动机特性，为建立汽车动力性和燃油经济性仿真模型的建立打下良好基础。

[1] 余志生.汽车理论[M].北京:机械工业出版社,2003.

[2] 庄志.发动机使用外特性曲线的一种拟合方法[J].客车技术.2002 (2):24-25.

[3] 胡义函,张小刚,陈华,等.一种基于鲁棒估计的极限学习机方法[J].计算机应用研究,2012,29(8):2926-2930.

Research on engine mathematical model based on robust regression theory

Liu Changqing

（Shaanxi Heavy Duty Automobile Co., Ltd, Shaanxi Xi'an 710200）

This paper introduces the robust regression theory to establish the mathematical model of engine performance, and the comparative analysis of the engine model. It is built up by the least square method, robust regression, relative least square method, can improve the accuracy of the mathematical models of the engine, and effectively reduce the influence of error in test data of the engine mathematical model, The car model lays a good foundation.

engine; model; Robust regression

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1671-7988(2018)18-106-02

U467

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CLC NO.: U467

刘常青，就职于陕西重型汽车有限公司汽车工程研究院军品研究所。