普通物理力学易错题剖析

摘要：力学是物理学专业学生学习物理的第一门专业基础课，刚刚步入大学一年级的很多学生保持有中学的解题习惯，不能按照大学力学的要求进行解题，解题中出现这样那样的错误。教师有必要对学生出现的错误尤其是典型易错题进行剖析，才能对症下药，帮助学生提高解题能力，进而学好力学。

关键词：力学易错题；剖析；思维方法；解题能力

中图分类号：O31 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2018）39-0205-03

刚刚步入大学一年级的学生，对于力学的许多内容有“似曾相识”的感觉，不少学生保持有中学的解题习惯，不能按照大学力学的要求进行解题，解题中出现种种错误。教师有必要对学生在解题中出现的错误尤其是典型易错题进行剖析，才能對症下药，帮助学生提高解题能力，并将力学概念、规律和思维方法，迁移到其他课程的学习中。因此，学好力学、顺利地解题对于完成物理学专业的其他课程的学习可以打下良好的基础。

一、质点运动学易错题剖析

该部分教学在讲述质点位置随时间的变动时，需要引入矢量和微积分等数学工具。由于高等数学教学跟不上力学的进度，尽管笔者事先用2-3节课介绍微积分初步、矢量的基本概念和运算方法，但发现学生解题中容易将矢量和标量混淆，不习惯用积分解题，不会判断物体运动的初始条件。

例：中学时曾学过v =v +at，s=v t+ at ，v -v =2as这几个匀变速直线运动的公式，请指出在怎样的初始条件下，可得出这几个公式。

错答：t=0时，v =v ，s=0

正确答：初始条件为t=0时，x=x ，v =v

分析：s是位移，s=x-x ，学生将位移s与位置坐标x 相混淆。

二、牛顿运动定律易错题剖析

牛顿运动定律是研究质点运动状态变化与质点受力的关系的关键，牛顿运动定律是经典力学的基础，由它出发可导出动能定理、动量定理、角动量定理等，该部分许多内容学生在中学已学习过，但对牛顿定律及推导出的其他定理和相应的守恒定律成立的条件及惯性系、惯性力等概念认识模糊，成为教学难点，导致解题中出现很多错误。

例：杂技演员站在沿倾角为α的斜面下滑的车厢内，以速率v 垂直于斜面上抛红球，经时间t 又以v 垂直于斜面上抛一绿球，车厢与斜面无摩擦。问两球何时相遇。[1]

错解：以竖直向上为y轴正向，以抛出红球时为计时起点，对红球有y =v t- gt

对绿球有y =v （t-t ）- g（t-t ）

分析：乱套匀变速直线运动公式。这里 方向与y轴方向不相同，学生不知道以车厢为非惯性系，引入惯性力的概念。

正确解：以车厢为参考系（非惯性系），车厢以加速度gsinα沿斜面运动，被抛小球除受重力外，还受一沿斜面向上的惯性力mgsinα；两者合力大小为mgcosα，方向沿斜面垂直向下。可见，在车厢参考系中，小球沿“重力加速度”gcosα作上抛运动。以出手高度为坐标原点建立坐标系oy，以抛红球为计时起点，对红球有

y =v t- （gcosα）t

y =v （t-t ）- gcosα（t-t ）

两球相遇时y =y ，解得相遇时间为t = + t

三、功和能易错题剖析

功和能是标量，在该部分解题中学生出现的书写错误较少，但对功和能的概念的理解认识模糊。解题中的难点问题是：变力做功和变质量的问题；质点系内力的功、势能定义和势能零点的选取；机械能守恒定律条件的判断；碰撞问题的综合运用。

例1：一同学对“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。”想不通。如何解决这个疑难？

解析：由引力做功计算可得，引力势能E =

-G +C，C为积分常数，取无穷远处为引力势能零点，即r→∞时E =0，则C=0，E =-G ，为负值。所以r越小，引力势能E 越小。

例2：一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图所示。CD长l，铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至v 时开始作匀速直线运动。后来钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？[2]

学生解题出现的问题有：

（1）以铁箱为参考系，假设铁箱质量M远大于钢球质量m，从而得到球与AC壁碰后弹回速度v ，进而求时间，这是错误的。因为对碰撞过程不能以铁箱为参考系而认为动量守恒，铁箱有加速度，不是惯性系，也不能自己附加条件M？垌m。

（2）有同学把铁箱看成是静止的，列等式：

0+mv =mv′ +0，得出v′ =v

这实际上也是以铁箱为参考系，而且认为球在碰撞前后动量相等也是错误的。完全弹性碰撞满足的一个规律是碰撞前后相对速度的大小不变，但相对速度的方向要发生变化的。

四、角动量易错题剖析

该部分内容对学生来说，是全新的知识。难点问题主要是：矢量的叉乘；角动量守恒定律的判断。学生对角动量错误的理解，诸如：

“一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定了，同时，作用于质点的力矩就被确定了。”[3]

分析：力矩 = × 依赖于参考点的选取，M 依赖于OZ轴的选取，所以，在合力确定的情况下，力矩还不能确定。

“质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩作用。”

分析：不确定参考点或轴说力矩没有意义。质点作匀速圆周运动，合力对圆心的力矩为零。质点作变速直线运动，合力对直线外一点的力矩不为零。

“质点系的动量为零，则质点系的角动量也为零；质点系的角动量为零，则质点系的动量也为零。”

分析：将质点系动量守恒和质点系角动量守恒的条件相混淆。例如，两质点质量相同，运动速度大小相等，方向相反，且不沿同一条直线，则质点系的动量为零，但对任意参考点的角动量均不为零。若上述两质点方向相同，其他条件不变，则质点系的动量不为零，但对两质点连线中心的角动量为零。

例：宇宙飞船绕地球作圆周轨道飞行时，轨道半径为R，飞行速率为v ，宇航员想把轨道改为经过B点的椭圆轨道，他在A点时，必须把飞船速率调整为v 的多少倍？[3]

学生没有认识到将飞船速率调整后由A飞到B的过程中，除飞船对地心的角动量守恒外，还伴随有机械能守恒（飞船与地球系统只有保守内力做功），少一个方程，因此不能求解。

正确解：以地球作为惯性系，飞船作圆轨道飞行时，有G =m

M和m分别为地球和飞船质量。当调整速率后飞船由A到B作椭圆轨道飞行时，若以地心为参考点，飞船所受外力矩为零，角动量守恒。则有Rmv =3Rmv

再以飞船、地球为研究对象，仅有保守内力作功，故机械能守恒。以飞船距地无穷远时为引力势能零点，则有 mv - = mv -

联立上述三个方程，解得v = v

五、刚体力学易错题剖析

该部分内容很多，既有许多新的概念和规律，又综合运用了前面的知识，是力学课程中最为综合的部分。学生习惯用质点运动学和动力学的知识求解，而在求解刚体有关问题时往往感到很困难。难点有：不会用定积分求解刚体的转动惯量；对刚体平面运动看成平动和绕通过任意基点轴的转动的合成理解模糊；有关刚体的其他问题：纯滚动、质心运动加速度、刚体平面运动的动能、刚体定轴转动问题的一题多解等。

例1：一质量均匀分布的细杆，质量为m，长为l，求其对通过杆中心的虚线轴的转动惯量I。

分析：此题较简单，但必须用定积分方法求解，学生不会建立恰当的坐标系，找出质量元，写出dI表达式，对此题感到束手无策。

解：沿杆斜向上建立X轴坐标和质量元，如图所示，

dI=r dm=（xsinα） dx

对上式两边积分，注意积分变量上下限为- ， 。

例2：固定斜面倾角为θ，质量为m半径为R的均质圆柱体沿斜面向下作无滑滚动，求：圆柱体质心的加速度a 及斜面作用于柱体的摩擦力F。[1]

学生出现的错误有：不知道圆柱体作平面运动，认为摩擦力F=μmgcosθ；建立方程时少一个无滑滚动的条件a =Rβ。

解：根据质心运动定理， + + =M

在斜面上建立直角坐标O—xyz，则Wsinθ-F=ma

利用对质心轴的转动定理，有FR=Iβ= mR β

圆柱体作无滑滚动时，a =Rβ，解以上方程，得a = gsinθ F= mgsinθ

六、简谐振动和简谐波易错题剖析

力学中的简谐振动是最基本的振动，掌握简谐振动的规律是研究波动的基础。本部分难点主要有：确定初相位；用动力学方程（解析法）和X—t图线及旋转矢量（几何法）表达简谐振动；用简谐波的一般表达式写出波动方程。

例1：作简谐振动的物体，由平衡位置向x轴正向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（2）由平衡位置到A/2处；（3）由A/2处到最大位移处。[4]

学生把质点的简谐振动当作是平均用时，因此，不加思索地得出答案：（1）T/4 （2）T/8 （3）T/8

正确解：按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在O点。

（1）由平衡位置到最大位移处，图中的旋转矢量从位置1到位置3，故Δφ1=π/2则所需时间间隔：Δt =Δφ /ω=T/4

（2）由平衡位置到A/2处，图中旋转矢量从位置1到位置2，有Δφ =π/6，则所需时间：Δt =Δφ /ω=T/12

（3）由A/2处到最大位移处，图中旋转矢量从位置2到位置3，有Δφ =π/3，则所需时间：Δt =Δφ /ω=T/6

例2：如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，求该波的波动方程。[5]

学生解此题时的错误有：认为初相位为零；不知道用简谐波的一般表达式表示该波的波动方程；不会用旋转矢量或解析法求初相位。

解：由图可知振幅A=0.04m，波长λ=0.40m，波速u=0.08m·s-1，则ω=2π/T=2πu/λ=（2π/5）s-1

根据旋转矢量法分析，知φ=-π/2

因此波动方程为y=0.04cos t- - （m）

七、结论

综上所述，分析學生在力学解题中出现的种种错误，其原因是从高中到大学的学习台阶大，适应不了大学的教学方法，对概念和规律的形成方法不清楚，死记硬背结论，乱套公式。为此，教师在教学中要深入了解学生的基础，加强学生学习方法的引导和物理学思维方法的教学，注意与中学物理知识的衔接，不能脱离学生的实际把大学力学内容直接“灌输”给学生。对概念、规律的形成及思维方法要求学生尽可能地用简洁准确的语言、公式、图像表示出来。布置作业时不要贪多而要求精，注意题型的多样化，既要有检验学生基础知识的一些理论性题目，还要有理论联系实际的生活原题，使学生充分了解问题情境，活学活用知识，培养分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]漆安慎，杜婵英，包景东.力学（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]管靖，张英，杨晓荣.力学（第2版）学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2009：85.

[3]焦梦周.普通物理力学习作课指导[M].北京：北京师范大学出版社，1993.

[4]樊丽娟.冯云光.旋转矢量在简谐振动和简谐波问题中的应用[J].铜仁学院学报，2013，（6）：163-164.

[5]马文蔚.物理学（第5版）习题分析与解答[M].北京：高等教育出版社，2006：232-233.